53 $(POL 2)$ Dados dos segmentos $AB$ y $CD$ que no están en el mismo plano, encuentre el lugar geométrico de los puntos $M$ tales que $MA^2 +MB^2 = MC^2 +MD^2.$

35 $(HUN 2)$ Demuestre que $1+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\cdots+\frac{1}{n^3}<\frac{5}{4}$

64 $(USS 1)$ Demuestre que para un número natural $n > 2, (n!)! > n[(n - 1)!]^{n!}.$

51 $(NET 6)$ Una curva determinada por $y =\sqrt{x^2 - 10x+ 52}, 0\le x \le 100,$ se construye en una cuadrícula rectangular. Determine el número de cuadrados cortados por la curva.

65 $(USS 2)$ Demuestre que para $a > b^2,$ se cumple la identidad ${\sqrt{a-b\sqrt{a+b\sqrt{a-b\sqrt{a+\cdots}}}}=\sqrt{a-\frac{3}{4}b^2}-\frac{1}{2}b}$

16 $(CZS 5)$ Se da un cuadrilátero convexo $ABCD$ con lados $AB = a, BC = b, CD = c, DA = d$ y ángulos $\alpha = \angle DAB, \beta = \angle ABC, \gamma = \angle BCD$ y $\delta = \angle CDA$. Sea $s = \frac{a + b + c +d}{2}$ y $P$ el área del cuadrilátero. Demuestre que $P^2 = (s - a)(s - b)(s - c)(s - d) - abcd \cos^2\frac{\alpha +\gamma}{2}$

69 $(YUG 1)$ Suponga que los números reales positivos $x_1, x_2, x_3$ satisfacen $x_1x_2x_3 > 1$ y $x_1 + x_2 + x_3 <\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}$. Demuestre que: $(a)$ Ninguno de los números $x_1, x_2, x_3$ es igual a $1$. $(b)$ Exactamente uno de estos números es menor que $1$.

56 Sean $a$ y $b$ dos números naturales que tienen un mismo número $n$ de dígitos en sus expansiones decimales. Los primeros $m$ dígitos (de izquierda a derecha) de los números $a$ y $b$ son iguales. Demuestre que si $m >\frac{n}{2},$ entonces $a^{\frac{1}{n}} -b^{\frac{1}{n}} <\frac{1}{n}$

54 $(POL 3)$ Sea $f(x)$ un polinomio con coeficientes enteros cuyo valor es divisible por $3$ para tres enteros $k, k + 1$ y $k + 2$. Demuestre que $f(m)$ es divisible por $3$ para todo entero $m$.

19 Se nos da un punto fijo en el círculo de radio $1$, y al avanzar desde este punto a lo largo de la circunferencia en dirección positiva a distancias curvas $0, 1, 2, \ldots$ desde él, obtenemos puntos con abscisas $n = 0, 1, 2, \ldots$ respectivamente. ¿Cuántos puntos entre ellos debemos tomar para asegurar que al menos dos de ellos se encuentren a una distancia menor que $\frac 15$? Amir