Lema de Hensel

Teoría

El Lema de Hensel es un resultado muy potente en teoría de números que te permite "elevar" soluciones de congruencias polinomiales módulo un primo $p$ a soluciones módulo potencias de ese primo, $p^k$. Conceptualmente, es el análogo en teoría de números del Método de Newton de cálculo. Así como el Método de Newton aproxima la raíz de una función usando el valor de la función y su derivada en un punto cercano, el Lema de Hensel usa una solución módulo $p^k$ y la derivada formal del polinomio para encontrar una solución módulo $p^{k+1}$.

Esta técnica es fundamental en teoría algebraica de números, específicamente en el estudio de los números $p$-ádicos ($\mathbb{Z}_p$). En el contexto de las olimpiadas de matemáticas, se usa principalmente para determinar si hay soluciones o para contar cuántas soluciones tienen las congruencias polinomiales $f(x) \equiv 0 \pmod{p^k}$ para valores grandes de $k$. En lugar de revisar cada clase de residuo módulo $p^k$, resuelves la ecuación módulo $p$ (que es mucho más pequeña y fácil) y luego elevas inductivamente esta solución por la escalera de las potencias de $p$.

La idea clave es que el comportamiento de esta "elevación" depende totalmente del valor de la derivada formal $f'(x)$ en la raíz. Si la derivada no es divisible entre $p$ (raíz no singular), la solución se eleva