Lema de Elevación del Exponente

Teoría

El Lema de Elevación del Exponente (que casi siempre se abrevia como LTE) es una técnica súper potente en teoría de números que sirve para encontrar la potencia de un primo $p$ que divide a una expresión de la forma $a^n - b^n$. Específicamente, te da una fórmula para la valuación $p$-ádica $v_p(a^n - b^n)$ usando $v_p(a-b)$ y $v_p(n)$. La notación $v_p(x)$ representa el exponente de la mayor potencia de $p$ que divide a $x$ (por ejemplo, $v_3(18) = 2$ porque $18 = 2 \cdot 3^2$).

El LTE es fundamental en las olimpiadas de matemáticas porque convierte un problema multiplicativo con exponentes en un problema aditivo con valuaciones. Se usa muchísimo para resolver ecuaciones diofánticas donde las variables aparecen en los exponentes (ecuaciones diofánticas exponenciales) o para demostrar relaciones de divisibilidad con potencias muy grandes. El lema básicamente te deja "elevar" el exponente $v_p(a-b)$ sumándole la valuación del exponente $n$, siempre y cuando se cumplan ciertas condiciones.

La intuición principal detrás del LTE viene de la expansión de $a^n - b^n$. Si $a$ y $b$ están "cerca" en el sentido $p$-ádico (o sea, $a \equiv b \pmod p$), entonces $a^n$ y $b^n$ van a estar todavía más "cerca" módulo potencias más altas de $p$. El lema mide exactamente qué tanto más se acercan. Es importante que distingas entre los casos donde $p$ es un primo impar y el caso especial de $p=2$, ya que el comportamiento cambia un poquito por las propiedades de los coeficientes binomiales.

Fórmulas Clave

Digamos que lo definimos como $v_p(x)$ al exponente de la mayor potencia de un primo $p$ que divide a un entero $x$.

Caso 1: Primo impar $p$

Sea $p$ un primo impar. Toma $a$ y $b$ como enteros tales que $p \nmid a$, $p \nmid b$, y $p \mid (a-b)$. Para cualquier entero positivo $n$, se cumple que: $$v_p(a^n - b^n) = v_p(a-b) + v_p(n)$$

Variación (Suma de potencias): Si $n$ es un entero positivo impar, $p$ es un primo impar, $p \nmid a$, $p \nmid b$, y $p \mid (a+b)$, entonces: $$v_p(a^n + b^n) = v_p(a+b) + v_p(n)$$

Caso 2: El primo $p = 2$

Sea $p=2$. Toma $a$ y $b$ como enteros impares (así que $2 \nmid a, 2 \nmid b$) tales que $2 \mid (a-b)$.

1. Si $n$ es un entero positivo **par