Cómo hallar raíces cuadradas mod pᵏ.
El Lema de Hensel es una herramienta súper potente en teoría de números que te permite "elevar" soluciones de congruencias polinomiales módulo un primo $p$ a soluciones módulo potencias de ese primo, $p^k$. Lo puedes ver como el análogo $p$-ádico del Método de Newton de cálculo. Así como el Método de Newton aproxima una raíz de una función real usando la recta tangente (la derivada), el Lema de Hensel usa la derivada formal de un polinomio para refinar paso a paso una solución de módulo $p^k$ a módulo $p^{k+1}$.
Esta técnica es clave cuando quieres resolver congruencias de la forma $x^2 \equiv a \pmod{p^k}$. Sin el Lema de Hensel, podrías intentar resolver estas congruencias a pura fuerza bruta o haciendo tablas enormes, pero eso se vuelve imposible de calcular conforme $k$ crece. El Lema de Hensel te da un algoritmo algebraico y sistemático para determinar si existe una solución y para construirla explícitamente. Te revela algo muy importante sobre la estructura: en la mayoría de los polinomios, lo que pasa con las raíces módulo $p$ dicta si van a existir raíces módulo potencias arbitrarias de $p$.
La aplicación que más vas a ver en las olimpiadas de matemáticas tiene que ver con los residuos cuadráticos. Específicamente, si quieres encontrar la raíz cuadrada de un entero $a$ módulo $p^k$ (donde $