Teorema del Binomio

Teoría

El Teorema del Binomio te da una fórmula para expandir las potencias de una expresión binomial $(a + b)^n$. Con ella, expresas esta potencia como una suma de términos que tienen coeficientes binomiales, los cuales cuentan de cuántas formas puedes elegir elementos de un conjunto.

Este teorema es fundamental en combinatoria, álgebra y probabilidad. Conecta las expresiones algebraicas con el conteo:

• Cada término $\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$ representa elegir $k$ factores de $b$ de un total de $n$ factores.
• Los coeficientes forman el triángulo de Pascal.
• Si eliges valores específicos para $a$ y $b$, obtienes identidades muy útiles.

Fórmulas Clave

Teorema del Binomio: $$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k = \binom{n}{0}a^n + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \cdots + \binom{n}{n}b^n$$

Coeficiente Binomial: $$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Casos Especiales:

$(1 + x)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k$

$(1 - x)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (-1)^k x^k$

Suma de Coeficientes: $$(1 + 1)^n = 2^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}$$

Suma Alternada: $$(1 - 1)^n = 0 = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k}$$

Término General:

El término $(k+1)$-ésimo en la expansión de $(a+b)^n$ es: $$T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$

Demostración

Demostración por Inducción:

Caso base: Para $n = 0$: $(a+b)^0 = 1 = \binom{0}{0}a^0b^0$. $\checkmark$

Para $n = 1$: $(a+b)^1 = a + b = \binom{1}{0}a + \binom{1}{1}b$. $\checkmark$

Paso inductivo: Supón que el teorema funciona para $n$: $$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$

Ahora hay que demostrarlo para $n + 1$: $$(a+b)^{n+1} = (a+b)(a+b)^n = (a+b) \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$

$$= a \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k + b \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$

$$= \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n+1-k} b^k + \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^{k+1}$$

Cambia el índice de la segunda suma con $j = k + 1$: $$= \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n+1-k} b^k + \sum_{j=1}^{n+1} \binom{n}{j-1} a^{n+1-j} b^{j}$$

Cuando combinas los términos (si usas la identidad de Pascal $\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \binom{n+1}{k}$): $$= a^{n+1} + \sum_{k=1}^{n} \left[\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1}\right] a^{n+1-k} b^k + b^{n+1}$$

$$= a^{n+1} + \sum_{k=1}^{n} \binom{n+1}{k} a^{n+1-k} b^k + b^{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} a^{n+1-k} b^k$$ $\square$

Demostración Combinatoria:

$(a+b)^n = \underbrace{(a+b)(a+b)\cdots(a+b)}_{n \text{ factors}}$

Cuando expandes, formas cada término eligiendo ya sea $a$ o $b$ de cada uno de los $n$ factores.

Para obtener el término $a^{n-k}b^k$, tienes que elegir $b$ de exactamente $k$ factores (y $a$ de los $n-k$ factores restantes).

La cantidad de formas de elegir cuáles $k$ factores aportan la $b$ es $\binom{n}{k}$.

Por lo tanto, el coeficiente de $a^{n-k}b^k$ es $\binom{n}{k}$. $\square$