La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33697 publicaciones parmenides51 #1 h 11 de enero de 2026, 1:08 PM Y por Calcule el valor de la expresión: $$\sqrt{1-\frac12 \cdot \sqrt{1\cdot 3}}+\sqrt{2-\frac12 \cdot \sqrt{3\cdot 5}}+\sqrt{3-\frac12 \cdot \sqrt{5\cdot 7}}+...+\sqrt{40-\frac12 \cdot \sqrt{79\cdot 81}}$$ Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 11 de enero de 2026, 1:11 PM Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33697 publicaciones parmenides51 #1 h 11 de enero de 2026, 1:11 PM Y por Un cuadrilátero $T$ con longitudes de lado $a, b, c$ y $d$ está inscrito en un círculo, y otro círculo está inscrito en $T$, como en la figura de abajo. Encuentre el área de $T$ (como una función de $a, b, c$ y $d$). https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/7/2/344cb893d5e3001b50e26fd117fc1470c055c7.png Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por parmenides51, 11 de enero de 2026, 1:13 PM Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33697 publicaciones parmenides51 #1 h 11 de enero de 2026, 1:23 PM Y por Encuentre todos los enteros positivos $x_1, x_2, ...,x_8$ que resuelven el sistema de ecuaciones: $$\begin{cases} (x_1+ x_2+ ...+x_8)^2=x_1 x_2 ...x_8 \\ 2(x_1+ x_2+ ...+x_8)=x_1^2+ x_2^2+ ...+x_8^2 \end{cases}$$ Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 11 de enero de 2026, 1:26 PM Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Assassino9931 1923 publicaciones Assassino9931 #1 h 8 de abril de 2025, 7:53 a. m. • 2 Y Y por cubres, ItsBesi Sea \( ABC \) un triángulo acutángulo con \( AB < AC \), \( M \) el punto medio del lado \( BC \), \( AD \) la altura ( \( D \in BC \) ) y \( H \) el ortocentro. Un círculo pasa por los puntos \( B \) y \( D \), es tangente a la recta \( AB \) e interseca al circuncírculo del triángulo \( ABC \) en un segundo punto \( Q \). El circuncírculo del triángulo \( QDH \) interseca a la recta \( BC \) en un segundo punto \( P \). Demuestre que las rectas \( MH \) y \( AP \) son perpendiculares. Z K Y

Se da una cuadrícula de $8\times 8$, cuyas celdas son todas blancas. Layla pinta algunas $k$ celdas de negro y luego Diletta elige repetidamente cualquier subcuadrado de $2\times 2$, y si hay $3$ celdas negras en él, entonces Diletta puede pintar la cuarta celda de negro. ¿Cuál es el menor $k$ de cuadrados iniciales que Layla puede pintar de negro para que Diletta pueda lograr pintar todas las celdas de negro?

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33697 publicaciones parmenides51 #1 h 11 de enero de 2026, 1:26 PM • 1 Y Y por cubres Encuentre todos los enteros no negativos $m$ y $n$ que satisfacen la ecuación $$3 \cdot 2^m +1 = n^2$$ Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 11 de enero de 2026, 1:26 PM Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. matinyousefi 499 publicaciones matinyousefi #1 h 22 de abr. de 2020, 1:27 p. m. • 1 Y Y por HWenslawski En una liga de fútbol con $2020$ equipos, cada dos equipos han jugado exactamente una vez y ningún partido ha terminado en empate. Los equipos participantes se ordenan primero por sus puntos (3 puntos por victoria, 1 punto por empate, 0 puntos por derrota) y luego por su diferencia de goles (goles a favor menos goles en contra) en una tabla de fútbol normal. ¿Es posible que la diferencia de goles en dicha tabla sea estrictamente creciente desde el primero hasta el último? Propuesto por Abolfazl Asadi Esta publicación ha sido editada 4 veces. Última edición por matinyousefi, 26 de abr. de 2020, 3:02 p. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. matinyousefi 499 publicaciones matinyousefi #1 h 22 de abril de 2020, 1:53 PM Y Morteza y Amir Reza juegan al siguiente juego. Primero, cada uno de ellos lanza independientemente un dado $100$ veces seguidas para construir un número de $100$ dígitos con los dígitos $1,2,3,4,5,6$; luego, gritan simultáneamente un número del $1$ al $100$ y anotan el dígito correspondiente al número que la otra persona gritó en su número de $100$ dígitos. Si ambos jugadores anotan un $6$, ambos ganan; de lo contrario, ambos pierden. ¿Tienen una estrategia con una probabilidad de ganar mayor a $\frac{1}{36}$? Propuesto por Morteza Saghafian Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por matinyousefi, 26 de abril de 2020, 3:03 PM Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. matinyousefi 499 publicaciones matinyousefi #1 h 24 de abr. de 2020, 3:22 a. m. Y por $1399$ puntos y algunas cuerdas entre ellos es dado. $a)$ En cada paso podemos tomar dos cuerdas $RS,PQ$ con un punto común distinto de $P,Q,R,S$ y borrar exactamente una de $RS,PQ$ y dibujar $PS,PR,QS,QR$ sea $s$ el mínimo de cuerdas después de algunos pasos. Encuentre el máximo de $s$ sobre todas las posiciones iniciales. $b)$ En cada paso podemos tomar dos cuerdas $RS,PQ$ con un punto común distinto de $P,Q,R,S$ y borrar ambas $RS,PQ$ y dibujar $PS,PR,QS,QR$ sea $s$ el mínimo de cuerdas después de algunos pasos. Encuentre el máximo de $s$ sobre todas las posiciones iniciales. Propuesto por Afrouz Jabalameli, Abolfazl Asadi Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por matinyousefi, 26 de abr. de 2020, 3:05 p. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 5 de sep. de 2010, 8:49 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Construya un triángulo $ABC$ dado su lado $a = BC$ , su circunradio $R \ (2R \geq a)$ , y la diferencia $\frac{1}{k} = \frac{1}{c}-\frac{1}{b}$ , donde $c = AB$ y $b = AC.$ Z K Y