424 Dos circunferencias, con una distancia $d$ entre sus centros, se cortan en los puntos $P$ y $Q$. Se trazan dos rectas que pasan por el punto $A$ en la primera circunferencia ($Q\ne A\ne P$) y por los puntos $P$ y $Q$. Estas rectas cortan a la segunda circunferencia en los puntos $B$ y $C$. a) Demuestre que el radio del círculo circunscrito al triángulo $ABC$ es igual a $d$. b) Describa el conjunto de los centros del nuevo círculo si el punto $A$ se mueve a lo largo de toda la primera circunferencia.

388 Los puntos $A, B, C$ y $D$ (de izquierda a derecha) pertenecen a la recta. Demuestre que todo punto $E$, que no pertenece a la recta, satisface: $$|AE| + |ED| + | |AB| - |CD| | > |BE| + |CE|$$

387 Las cifras $x$ e $y$ satisfacen una condición: para todo $n\ge1$ el número $$xx...x6yy...y4$$ ($n$ veces $x$ y $n$ veces $y$) es un cuadrado perfecto. Encuentre todos los posibles $x$ e $y$.

377 números naturales $n$ ($n>3$) están escritos en una circunferencia. La relación de la suma de dos vecinos con el número mismo es un número entero. Demuestre que la suma de esas relaciones es a) no menor que $2n$ b) menor que $3n$

395 Se trazan dos perpendiculares desde los puntos medios de cada lado de un triángulo acutángulo hacia los otros dos lados. Esos seis segmentos forman un hexágono. Demuestre que el área del hexágono es la mitad del área del triángulo.

526 Dado un punto $X$ y $n$ vectores $\overrightarrow{x_i}$ con suma cero en el plano. Para cada permutación de los vectores formamos un conjunto de $n$ puntos, comenzando en $X$ y sumando los vectores en orden. Por ejemplo, con el orden original obtenemos $X_1$ tal que $XX_1 = \overrightarrow{x_1}$, $X_2$ tal que $X_1X_2 = \overrightarrow{x_2}$ y así sucesivamente. Demuestre que para alguna permutación podemos encontrar dos puntos $Y, Z$ con ángulo $\angle YXZ = 60^o$, de tal manera que todos los puntos se encuentren dentro o sobre el triángulo $XYZ$.

356 Los términos de las sucesiones $a_n$ y $b_n$ son los últimos dígitos de $[\sqrt{10}^n]$ y $[\sqrt{2}^n]$ respectivamente (aquí $[ ...]$ denota la parte entera de un número). ¿Son dichas sucesiones periódicas?

404 El pentágono convexo $ABCDE$ fue dibujado en el plano. $A_1$ fue simétrico a $A$ con respecto a $B$. $B_1$ fue simétrico a $B$ con respecto a $C$. $C_1$ fue simétrico a $C$ con respecto a $D$. $D_1$ fue simétrico a $D$ con respecto a $E$. $E_1$ fue simétrico a $E$ con respecto a $A$. ¿Cómo es posible restaurar el pentágono inicial con regla y compás, conociendo los puntos $A_1,B_1,C_1,D_1,E_1$?

357 Dos ángulos agudos $a$ y $b$ satisfacen la condición $$\sin^2a+\sin^2b = \sin(a+b)$$ Demuestre que $a + b = \pi /2$.

359 El alumno está practicando la resolución de ecuaciones cuadráticas. Habiendo resuelto la ecuación recurrente, se detiene si esta no tiene dos raíces, o resuelve la siguiente ecuación, con el término independiente igual a la mayor raíz, el coeficiente de $x$ igual a la menor raíz, y el coeficiente de $x^2$ igual a $1$. Demuestre que el proceso no puede ser infinito. ¿Cuál es el número máximo de ecuaciones que tendrá que resolver?