La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. EthanWYX2009 1189 publicaciones EthanWYX2009 #1 h 5 de mar. de 2024, 8:30 p. m. • 8 Y Y por LLL2019, PRMOisTheHardestExam, ys-lg, 1052760, Euler_Gauss, yshk, ehuseyinyigit, mxsail Dado un entero positivo $M.$ Para cualquier $n\in\mathbb N_+,$ sea $h(n)$ el número de elementos en $[n]$ que son coprimos con $M.$ Defina $\beta :=\frac {h(M)}M.$ Demuestre que existen al menos $\frac M3$ elementos $n$ en $[M]$ que satisfacen $$\left| h(n)-\beta n\right|\le\sqrt{\beta\cdot 2^{\omega(M)-3}}+1.$$ Aquí $[n]:=\{1,2,\ldots ,n\}$ para todo entero positivo $n.$ Propuesto por Bin Wang Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por EthanWYX2009, 1 de oct. de 2024, 2:19 a. m. Razón: añadir proponente Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 4 de sep. de 2023, 12:05 p. m. Y por Llamemos esquina a la figura que se obtiene al eliminar una celda de un cuadrado de $2 \times 2$. Corte el cuadrado de $6 \times 6$ en esquinas de tal manera que ninguna pareja de ellas forme un rectángulo de $2 \times 3$ o $3 \times 2$ en conjunto. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 6 de sep. de 2018, 8:59 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $S$ el círculo de centro $O$ y radio $R$ , y sean $A, A'$ dos puntos diametralmente opuestos en $S$ . Sea $P$ el punto medio de $OA'$ y $\ell$ una recta que pasa por $P$ , distinta de $AA'$ y de la perpendicular a $AA'$ . Sean $B$ y $C$ los puntos de intersección de $\ell$ con $S$ y sea $M$ el punto medio de $BC$ . a) Sea $H$ el pie de la altura desde $A$ en el triángulo $ABC$ . Sea $D$ el punto de intersección de la recta $A'M$ con $AH$ . Determine el lugar geométrico del punto $D$ a medida que $\ell$ varía . b) La recta $AM$ corta a $OD$ en $I$ . Demuestre que $2 OI = ID$ y determine el lugar geométrico del punto $I$ a medida que $\ell$ varía . Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 20 de jun. de 2022, 8:35 p. m. Z K Y

Dados $1811$ números naturales distintos, cada uno de los cuales no excede $1991$. Sea $m$ el menor de ellos. Demuestre que existen dos números entre ellos cuya diferencia es igual a $10m$.

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 14 de enero de 2026, 4:26 a. m. • 1 Y Y por cubres Sean dos círculos en el plano que se encuentran en el exterior del otro (es decir, no se intersecan), y sea un punto dado en cada círculo. Construya dos círculos de igual radio que sean tangentes a los círculos dados y que se intersequen en el segmento de recta que une los puntos dados. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 19 de sep. de 2022, 1:40 p. m. Y por Hay un tablero con $n$ filas y $4$ columnas, y fichas blancas, amarillas y azul claro. El jugador $A$ coloca cuatro fichas en la primera fila del tablero y las cubre para que el jugador $B$ no las conozca. ¿Qué debe hacer el jugador $B$ para llenar el número mínimo de filas con fichas que aseguren que en cualquiera de las filas tendrá al menos tres aciertos? Aclaración: Un acierto del jugador $B$ ocurre cuando coloca una ficha del mismo color y en la misma columna que $A$. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 19 de sep. de 2022, 1:40 p. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 19 de sep. de 2022, 1:42 p. m. Y por Encuentre todos los enteros $k$ para los cuales existe una función $f: N \to Z$ que satisface: (i) $f(1995) = 1996$ (ii) $f(xy) = f(x) + f(y) + kf(m_{xy})$ para todos los números naturales $x, y$, donde $m_{xy}$ denota el máximo común divisor de los números $x, y$. Aclaración: $N = \{1,2,3,...\}$ y $Z = \{...-2,-1,0,1,2,...\}$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. mojyla222 196 publicaciones mojyla222 #1 h 15 de sep. de 2023, 11:55 p. m. Y por El juego de Hive se juega en una cuadrícula hexagonal regular (como se muestra en la figura) por 3 jugadores. La cuadrícula consta de $k$ capas (donde $k$ es un número natural) que rodean un hexágono regular, con cada capa construida alrededor de la capa anterior. La figura a continuación muestra una cuadrícula con 2 capas. Los jugadores, Ali, Shayan y Sajad, se turnan para jugar el juego. En cada turno, un jugador coloca una ficha, similar a la que se muestra en la figura, en las celdas vacías de la cuadrícula (también se permite la rotación de la ficha). El primer jugador que no pueda colocar una ficha en la cuadrícula pierde el juego. Demuestre que dos jugadores pueden colaborar de tal manera que el tercer jugador siempre pierda. Propuesto por Pouria Mahmoudkhan Shirazi. Adjuntos: Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. AHZOLFAGHARI 128 publicaciones AHZOLFAGHARI #1 h 15 de mar. de 2023, 1:39 p. m. Y por Suponga que $n\ge2$ y $a_1,a_2,...,a_n$ son números naturales tales que $(a_1,a_2,...,a_n)=1$. Encuentre todas las funciones estrictamente crecientes $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{R}$ tales que: $$ \forall x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{Z} : f(\sum_{i=1}^{n} {x_ia_i}) = \sum_{i=1}^{n} {f(x_ia_i)}$$ Propuesto por Navid Safaei y Ali Mirzaei Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por AHZOLFAGHARI, 17 de mar. de 2023, 2:19 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. AHZOLFAGHARI 128 publicaciones AHZOLFAGHARI #1 h 15 de mar. de 2023, 1:19 p. m. Y sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico y $O$ el centro de su circunferencia circunscrita. Suponga que $AD \cap BC = E$ y $AC \cap BD = F$. La circunferencia $\omega$ es tangente a las rectas $AC$ y $BD$. $PQ$ es un diámetro de $\omega$ tal que $F$ es el ortocentro de $EPQ$. Demuestre que la recta $OE$ pasa por el centro de $\omega$. Propuesto por Mahdi Etesami Fard. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por AHZOLFAGHARI, 17 de mar. de 2023, 2:20 a. m. Z K Y