La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. a_507_bc 679 publicaciones a_507_bc #1 h 13 de julio de 2023, 1:39 PM • 1 Y Y por Amir Hossein Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ tales que $f(1) \neq f(-1)$ y $$f(m+n)^2 \mid f(m)-f(n)$$ para todos los enteros $m, n$. Propuesto por Liam Baker, Sudáfrica Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por a_507_bc, 5 de octubre de 2023, 11:14 AM Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Kamikaze-1 4 publicaciones Kamikaze-1 #1 h 4 de julio de 2023, 12:41 PM Y por Hay $n!$ cestas vacías en una fila, etiquetadas $1, 2, . . . , n!$. César primero pone una piedra en cada cesta. Luego, César pone 2 piedras en cada segunda cesta. César continúa de manera similar hasta que ha puesto $n$ piedras en cada enésima cesta. En otras palabras, para cada $i = 1, 2, . . . , n,$ César pone $i$ piedras en las cestas etiquetadas $i, 2i, 3i, . . . , n!.$ Sea $x_i$ el número de piedras en la cesta $i$ después de todos estos pasos. Demuestre que $n! \cdot n^2 \leq \sum_{i=1}^{n!} x_i^2 \leq n! \cdot n^2 \cdot \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i} $ Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Kamikaze-1, 4 de julio de 2023, 12:45 PM Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. a_507_bc 679 publicaciones a_507_bc #1 h 13 de julio de 2023, 1:42 PM Y por A binoku es una cuadrícula de $9 \times 9$ que está dividida en nueve subcuadrículas de $3 \times 3$ con las siguientes propiedades: - cada celda contiene un $0$ o un $1$, - cada fila contiene al menos un $0$ y al menos un $1$, - cada columna contiene al menos un $0$ y al menos un $1$, y - cada una de las nueve subcuadrículas contiene al menos un $0$ y al menos un $1$. Un binoku incompleto se obtiene a partir de un binoku eliminando los números de algunas de las celdas. ¿Cuál es el mayor número de celdas vacías que puede contener un binoku incompleto si puede completarse para formar un binoku de manera única? Propuesto por Stijn Cambie, Corea del Sur Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por a_507_bc, 5 de octubre de 2023, 11:14 AM Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. a_507_bc 679 publicaciones a_507_bc #1 h 13 de julio de 2023, 1:44 PM • 1 Y Y por NO_SQUARES Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$ y sea $AI$ la recta que corta a $BC$ en $D$. Sea $E$ un punto en el segmento $AC$ tal que $CD=CE$ y sea $F$ un punto en el segmento $AB$ tal que $BF=BD$. Sean $(CEI) \cap (DFI)=P \neq I$ y $(BFI) \cap (DEI)=Q \neq I$. Demuestre que $PQ \perp BC$. Propuesto por Leonardo Franchi, Italia. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por a_507_bc, 4 de octubre de 2023, 10:10 PM Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. a_507_bc 679 publicaciones a_507_bc #1 h 13 de julio de 2023, 1:45 PM Y por En el plano, se eligen $2022$ puntos tales que no hay tres puntos sobre la misma recta. Cada uno de los puntos se colorea de rojo o azul de tal manera que cada triángulo formado por tres puntos rojos distintos contiene al menos un punto azul. ¿Cuál es el mayor número posible de puntos rojos? Propuesto por Art Waeterschoot, Bélgica Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por a_507_bc, 4 de octubre de 2023, 10:10 PM Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Mualpha7 70 publicaciones Mualpha7 #1 h 3 de noviembre de 2012, 2:56 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 5. $A$ y $B$ juegan turnos alternos en un tablero de $2012 \times 2013$ con suficientes piezas de los siguientes tipos: Tipo $1$: Pieza como la del Tipo $2$ pero con un cuadrado a la derecha del cuadrado inferior. Tipo $2$: Pieza de $2$ cuadrados consecutivos, uno sobre otro. Tipo $3$: Pieza de $1$ cuadrado. En su turno, $A$ debe colocar una pieza del tipo $1$ en los cuadrados disponibles del tablero. $B$, en su turno, debe colocar exactamente una pieza de cada tipo en los cuadrados disponibles del tablero. El jugador que no pueda realizar más movimientos pierde. Si $A$ comienza a jugar, decida quién tiene una estrategia ganadora. Nota: Las piezas pueden rotarse pero no pueden superponerse; no pueden quedar fuera del tablero. Las piezas de los tipos $1$, $2$ y $3$ pueden colocarse exactamente en $3$, $2$ y $1$ cuadrados del tablero respectivamente. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. MR.1 253 publicaciones MR.1 #1 h 31 de dic. de 2025, 6:40 a. m. Y por La función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ satisface la ecuación: $$f(x+|y|)+|y|=f(f(f(x)))$$ para todo $x$ e $y$ reales. Dado $f(0)=15$, calcule la suma: $$f(-1)+f(-2)+f(-3)+\dots+f(-50)$$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. MR.1 253 publicaciones MR.1 #1 h 31 de dic. de 2025, 6:42 a. m. Y por Sean $m$ y $n$ números naturales coprimos ( $\gcd(m,n)=1$ ). Sea $d(m,n)$ el máximo común divisor de $2025m+n$ y $2025n+m$ : $$d(m,n) = \gcd(2025m+n, 2025n+m)$$ Encuentre el valor máximo posible de $d(m,n)$ . Justifique su respuesta. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. MR.1 253 publicaciones MR.1 #1 h 31 de dic. de 2025, 6:59 a. m. Y por En una sucesión $x_1, x_2, \dots, x_{100}$, tenemos $x_1 = \frac{1}{2024}$ y $x_{100} = \frac{1}{2025}$. Para $k=2, 3, \dots, 99$: $$x_{k}=\frac{2x_{k-1}x_{k+1}}{x_{k-1}+x_{k+1}}$$ Encuentre $x_{34}$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 18 de julio de 2011, 7:05 a. m. • 21 Y Y por acegikmoqsuwy2000, Davi-8191, adityaguharoy, pog, centslordm, megarnie, ryusei, Adventure10, Mango247, ItsBesi, PikaPika999, H_Taken y otros 9 usuarios. Dado cualquier conjunto $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ de cuatro enteros positivos distintos, denotamos la suma $a_1 +a_2 +a_3 +a_4$ por $s_A$. Sea $n_A$ el número de pares $(i, j)$ con $1 \leq i < j \leq 4$ para los cuales $a_i +a_j$ divide a $s_A$. Encuentre todos los conjuntos $A$ de cuatro enteros positivos distintos que alcanzan el mayor valor posible de $n_A$. Propuesto por Fernando Campos, México Z K Y