La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 11 de ene. de 2011, 3:49 p. m. • 1 Y Y por Adventure10 Sea $E$ un conjunto finito de puntos en el espacio tal que $E$ no está contenido en un plano y no hay tres puntos de $E$ que sean colineales. Demuestre que $E$ contiene los vértices de un tetraedro $T = ABCD$ tal que $T \cap E = \{A,B,C,D\}$ (incluyendo los puntos interiores de $T$) y tal que la proyección de $A$ sobre el plano $BCD$ se encuentra dentro de un triángulo que es semejante al triángulo $BCD$ y cuyos lados tienen como puntos medios a $B,C,D.$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 11 de enero de 2011, 3:46 PM • 1 Y Y por Adventure10 La sucesión $a_{n,k} \ , k = 1, 2, 3,\ldots, 2^n \ , n = 0, 1, 2,\ldots,$ está definida por la siguiente fórmula de recurrencia: \[a_1 = 2,\qquad a_{n,k} = 2a_{n-1,k}^3, \qquad , a_{n,k+2^{n-1}} =\frac 12 a_{n-1,k}^3\] \[\text{para} \quad k = 1, 2, 3,\ldots, 2^{n-1} \ , n = 0, 1, 2,\ldots\] Demuestre que los números $a_{n,k}$ son todos diferentes. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. WakeUp 1347 publicaciones WakeUp #1 h 11 de ene. de 2011, 3:54 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Evalúe \[S=\sum_{k=1}^n k(k+1)\ldots (k+p), \] donde $n$ y $p$ son enteros positivos. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. WakeUp 1347 publicaciones WakeUp #1 h 11 de enero de 2011, 3:53 PM • 1 Y Y por Adventure10 Una rueda consiste en un disco circular fijo y un anillo circular móvil. En el disco están marcados los números $1, 2, 3, \ldots ,N$, y en el anillo están marcados $N$ enteros $a_1,a_2,\ldots ,a_N$ cuya suma es $1$. El anillo puede girarse en $N$ posiciones diferentes en las cuales los números del disco y del anillo coinciden entre sí. Multiplique cada número del anillo por el número correspondiente del disco y forme la suma de los $N$ productos. De esta manera, se obtiene una suma para cada posición del anillo. Demuestre que las $N$ sumas son diferentes. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 11 de enero de 2011, 3:40 PM • 1 Y Y por Adventure10 Los números $1, 2, 3,\ldots , 64$ se colocan en un tablero de ajedrez, un número en cada casilla. Considere todos los cuadrados de tamaño $2 \times 2$ en el tablero de ajedrez. Demuestre que existen al menos tres de tales cuadrados para los cuales la suma de los $4$ números contenidos excede $100.$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. WakeUp 1347 publicaciones WakeUp #1 h 11 de enero de 2011, 3:50 PM • 1 Y Y por Adventure10 Considere $37$ puntos distintos en el espacio, todos con coordenadas enteras. Demuestre que podemos encontrar entre ellos tres puntos distintos tales que su baricentro tenga coordenadas enteras. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 11 de ene. de 2011, 3:38 p. m. • 1 Y Y por Adventure10 Sean $m_j > 0$ para $j = 1, 2,\ldots, n$ y $a_1 \leq \cdots \leq a_n < b_1 \leq \cdots \leq b_n < c_1 \leq \cdots \leq c_n$ números reales. Demuestre que \[\Biggl( \sum_{j=1}^{n} m_j(a_j+b_j+c_j) \Biggr)^2 > 3 \Biggl( \sum_{j=1}^{n} m_j \Biggr) \Biggl( \sum_{j=1}^{n} m_j(a_jb_j+b_jc_j+c_ja_j) \Biggr).\] Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. WakeUp 1347 publicaciones WakeUp #1 h 11 de ene. de 2011, 3:49 p. m. • 1 Y Y por Adventure10 Sean $A_1,A_2,\ldots ,A_{n+1}$ enteros positivos tales que $(A_i,A_{n+1})=1$ para todo $i=1,2,\ldots ,n$. Demuestre que la ecuación \[x_1^{A_1}+x_2^{A_2}+\ldots + x_n^{A_n}=x_{n+1}^{A_{n+1} }\] tiene un conjunto infinito de soluciones $(x_1,x_2,\ldots , x_{n+1})$ en enteros positivos. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 11 de enero de 2011, 3:32 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Considere una sucesión de números $(a_1, a_2, \ldots , a_{2^n}).$ Defina la operación \[S\biggl((a_1, a_2, \ldots , a_{2^n})\biggr) = (a_1a_2, a_2a_3, \ldots , a_{2^{n-1}a_{2^n}, a_{2^n}a_1).}\] Demuestre que, sea cual sea la sucesión $(a_1, a_2, \ldots , a_{2^n})$, con $a_i \in \{-1, 1\}$ para $i = 1, 2, \ldots , 2^n,$ después de un número finito de aplicaciones de la operación obtenemos la sucesión $(1, 1, \ldots, 1).$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 20 de sep. de 2010, 3:03 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $B$ un conjunto de $k$ sucesiones, cada una con $n$ términos iguales a $1$ o $-1$. El producto de dos de tales sucesiones $(a_1, a_2, \ldots , a_n)$ y $(b_1, b_2, \ldots , b_n)$ se define como $(a_1b_1, a_2b_2, \ldots , a_nb_n)$. Demuestre que existe una sucesión $(c_1, c_2, \ldots , c_n)$ tal que la intersección de $B$ y el conjunto que contiene todas las sucesiones de $B$ multiplicadas por $(c_1, c_2, \ldots , c_n)$ contiene a lo sumo $\frac{k^2}{2^n}$ sucesiones. Z K Y