Un número natural $n$ es atrevido si el conjunto de sus divisores, incluyendo al $1$ y al $n$, se puede dividir en tres subconjuntos tales que la suma de los elementos de cada subconjunto es la misma en los tres. ¿Cuál es la menor cantidad de divisores que puede tener un número atrevido?

En el triángulo escaleno $ABC$, con $\angle BAC=90^\circ$, se consideran las circunferencias inscrita y circunscrita. La recta tangente en $A$ a la circunferencia circunscrita corta a la recta $BC$ en $M$. Sean $S$ y $R$ los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita con los catetos $AC$ y $AB$, respectivamente. La recta $RS$ corta a la recta $BC$ en $N$. Las rectas $AM$ y $SR$ se cortan en $U$. Demuestre que el triángulo $UMN$ es isósceles.

Dada una circunferencia $\Gamma$, considere un cuadrilátero $ABCD$ con sus cuatro lados tangentes a $\Gamma$, con $AD$ tangente a $\Gamma$ en $P$ y $CD$ tangente a $\Gamma$ en $Q$. Sean $X$ e $Y$ los puntos donde $BD$ corta a $\Gamma$, y $M$ el punto medio de $XY$. Demuestra que $\angle AMP=\angle CMQ$.

Se consideran $n$ números reales $a_1,a_2,\ldots, a_n$ no necesariamente distintos. Sea $d$ la diferencia entre el mayor y el menor de ellos y sea:\n$$s=\sum_{i<j} |a_i-a_j|$$ \nDemuestra que:\n$$(n-1)d\leq s\leq \frac{n^2d}{4}$$\ny determine las condiciones que deben cumplir estos $n$ números para que se verifique cada una de las igualdades.

Determine todas las ternas de números reales $(x,y,z)$ que satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones: $$xyz=8$$ $$x^2y+y^2z+z^2x=73$$ $$x(y-z)^2+y(z-x)^2+z(x-y)^2=98.$$

Determine todas las parejas $(a,b)$ de enteros positivos tales que $2a+1$ y $2b-1$ sean primos relativos y $a+b$ divida a $4ab+1$.

Sea $n>1$ un entero impar. Sean $P_0$ y $P_1$ dos vértices consecutivos de un polígono regular de $n$ lados. Para cada $k\geq 2$, se define como el vértice del polígono dado que se encuentra en la mediatriz de $P_{k-1}P_{k-2}$. Determina para qué valores de $n$ la sucesión $P_0,P_1,P_2\ldots$, recorre todos los vértices del polígono.

Se considera en el plano una circunferencia de centro $O$ y radio $r$ y un punto $A$ exterior a ella. Sea $M$ un punto de la circunferencia y $N$ el punto diametralmente opuesto a $M$. Hallar el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que pasan por $A$, $M$ y $N$ al variar $M$.

Sea $p$ mayor que $3$ un número primo. Si $$\frac{1}{1^p} + \frac{1}{2^p} + \frac{1}{3^p} + \cdots + \frac{1}{(p-1)^p} = \frac{n}{m}$$ donde el máximo común divisor de $n$ y $m$ es $1$, demuestra que $p^3$ divide a $n$.

Dados dos enteros positivos $a$ y $b$, se denota por $a \nabla b$ el residuo que se obtiene al dividir $a$ entre $b$. Este residuo es uno de los números $0,1,\ldots, b-1$. Encuentre todas las parejas de números $(a,p)$ tales que $p$ es primo y se cumple que $$(a \nabla p) + (a \nabla 2p) + (a \nabla 3p) + (a \nabla 4p) = a + p$$