Sea un triángulo $ ABC, $ y tres puntos $ A',B',C' $ en los segmentos $ BC,CA, $ respectivamente, $ AB, $ tales que las líneas $ AA',BB',CC' $ son concurrentes en $ M. $ Nombra $ a,b,c,x,y,z $ las áreas de los triángulos $ AB'M,BC'M,CA'M,AC'M,BA'M, $ respectivamente, $ CB'M. $ Demuestra que: a) $ abc=xyz $ b) $ ab+bc+ca=xy+yz+zx $

Encuentra todos los números reales $ a $ tales que $ x,y>a\implies x+y+xy>a. $

En un área urbana cuyo plano de calles es una cuadrícula, una persona comenzó a caminar desde una intersección y giró a la derecha o a la izquierda en cada intersección a la que llegaba hasta que terminó en la misma intersección inicial. a) Demuestra que el número de intersecciones (no necesariamente distintas) en las que estuvo es equivalente a $ 1 $ módulo $ 4. $ b) Enuncie y pruebe una declaración recíproca.

Resuelva en naturales la ecuación $9^x-3^x=y^4+2y^3+y^2+2y$

Sobre la hipotenusa $ BC $ de un triángulo rectángulo isósceles $ ABC $ sean $ M,N $ tales que $ BM^2-MN^2+NC^2=0. $ Demuestra que $ \angle MAN= 45^{\circ } . $

Sea un número real $ a. $ Para cualquier número real $ p $ y número natural $ k, $ sea el conjunto $$ A_k(p)=\{ px\in\mathbb{Z}\mid k=\lceil x \rceil \} . $$ Encuentra todos los números reales $ b $ tales que $ \# A_n(a)=\# A_n(b) , $ para cualquier número natural $ n. $ $ \# $ denota el cardinal.

Encuentra todos los números naturales $ n $ para los cuales existen dos números naturales $ a,b $ tales que $$ n=S(a)=S(b)=S(a+b) , $$ donde $ S(k) $ denota la suma de los dígitos de $ k $ en base $ 10, $ para cualquier número natural $ k. $

Para cada $ k\in\mathbb{N} ,k\le 2000, $ Sea $ r_k $ el resto de la división de $ k $ por $ 4, $ y $ r'_k $ el resto de la división de $ k $ por $ 3. $ Demuestra que existe un único $ m\in\mathbb{N} ,m\le 1999 $ tal que $$ r_1+r_2+\cdots +r_m=r'_{m+1} +r'_{m+2} +\cdots r'_{2000} . $$

Dado $n\ge 2$ un número natural, $(K,+,\cdot )$ un cuerpo con propiedad conmutativa que $\underbrace{1+...+}_{m}1\ne 0,m=2,...,n,f\in K[X]$ un polinomio de grado $n$ y $G$ un subgrupo del grupo aditivo $(K,+,\cdot )$ , $G\ne K.$ Muestre que hay $a\in K$ s o $f(a)\notin G$ .

Dado $a\in (0,1)$ y $C$ el conjunto de funciones crecientes $f:[0,1]\to [0,\infty )$ tales que $\int\limits_{0}^{1}{f(x)}dx=1$ . Determine: $(a)\underset{f\in C}{\mathop{\max }}\,\int\limits_{0}^{a}{f(x)dx}$ $(b)\underset{f\in C}{\mathop{\max }}\,\int\limits_{0}^{a}{{{f}^{2}}(x)dx}$