Dado un anillo $\left( A,+,\cdot \right)$ que cumple ambas de las siguientes condiciones: (1) $A$ no es un campo, y (2) Para cada elemento no invertible $x$ de $ A$ , hay un entero $m>1$ (dependiendo de $x$ ) tal que $x=x^2+x^3+\ldots+x^{{2}^{m}}$ . Muestre que (a) $x+x=0$ para cada $x \in A$ , y (b) $x^2=x$ para cada $x\in A$ no invertible .

Determine las funciones continuas $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tales que $\left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right)\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx=3\int\limits_{a}^{b}{{{x}^{2}}f\left( x \right)dx,}}$ para cada $a,b\in \mathbb{R}$ .

a) Considere \[f\text{:}\left[ \text{0,}\infty \right)\to \left[ \text{0,}\infty \right)\] una función diferenciable y convexa .Muestre que $f\left( x \right)\le x$ , para cada $x\ge 0$ , que ${f}'\left( x \right)\le 1$ ,para cada $x\ge 0$ b) Determine \[f\text{:}\left[ \text{0,}\infty \right)\to \left[ \text{0,}\infty \right)\] funciones diferenciables y convexas que tienen la propiedad de que $f\left( 0 \right)=0\,$ , y ${f}'\left( x \right)f\left( f\left( x \right) \right)=x$ , para cada $x\ge 0$

Una función \[\text{f:(0,}\infty \text{) }\to \text{(0,}\infty \text{)}\] se llama contrato si, para cada número $x,y\in \text{(0,}\infty \text{)}$ tenemos, $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{f}^{n}}\left( x \right)-{{f}^{n}}\left( y \right) \right)=0$ donde ${{f}^{n}}=\underbrace{f\circ f\circ ...\circ f}_{n\ f\text{'s}}$ a) Considere \[f:\text{(0,}\infty \text{) }\to \text{(0,}\infty \text{)}\] una función contraída, continúe con la propiedad de que tiene un punto fijo, que existe ${{x}_{0}}\in \text{(0,}\infty \text{) }$ allí para que $f\left( {{x}_{0}} \right)={{x}_{0}}.$ Muestre que $f\left( x \right)>x,$ para cada $x\in \text{(0,}{{x}_{0}}\text{)}\,$ y $f\left( x \right)<x$ , para cada $x\in \text{(}{{x}_{0}}\text{,}\infty \text{)}\,$ . b) Muestre que la función dada \[f\text{:(0,}\infty \text{) }\to \text{(0,}\infty \text{)}\] dada por $f\left( x \right)=x+\frac{1}{x}$ está contraída pero no tiene un número fijo.

Sean $m$ y $n$ números naturales, $m,n\ge 2$ . Considere matrices, ${{A}_{1}},{{A}_{2}},...,{{A}_{m}}\in {{M}_{n}}(R)$ no todas nilpotentes. Demuestre que existe un número entero $k>0$ tal que ${{A}^{k}}_{1}+{{A}^{k}}_{2}+.....+{{A}^{k}}_{m}\ne {{O}_{n}}$

Dado A, matrices no invertidas de orden n con elementos reales, $n\ge 2$ y dado ${{A}^{*}}$ adjunte la matriz A. Demuestre que $tr({{A}^{*}})\ne -1$ si y sólo si la matriz ${{I}_{n}}+{{A}^{*}}$ es invertible.

a)Prueba que $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{{{2}^{m}}}<m$ , para cualquier $m\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ . b)Sea ${{p}_{1}},{{p}_{2}},...,{{p}_{n}}$ los números primos menores que ${{2}^{100}}$ . Prueba que $\frac{1}{{{p}_{1}}}+\frac{1}{{{p}_{2}}}+...+\frac{1}{{{p}_{n}}}<10$

Encuentra todas las funciones inyectivas $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ que satisfacen: $\left| f\left( x \right)-f\left( y \right) \right|\le \left| x-y \right|$ ,para cualquier $x,y\in \mathbb{Z}$ .

Para ser considerado los siguientes complejos y distintos $a,b,c,d$ . Prueba que las siguientes afirmaciones son equivalentes: i)Para cada $z\in \mathbb{C}$ la desigualdad tiene lugar : $\left| z-a \right|+\left| z-b \right|\ge \left| z-c \right|+\left| z-d \right|$ ; ii)Hay $t\in \left( 0,1 \right)$ de modo que $c=ta+\left( 1-t \right)b$ si $d=\left( 1-t \right)a+tb$

Resuelve la siguiente ecuación ${{2}^{{{\sin }^{4}}x-{{\cos }^{2}}x}}-{{2}^{{{\cos }^{4}}x-{{\sin }^{2}}x}}=\cos 2x$