Encuentra todos los enteros positivos $A$ que pueden ser representados en la forma:\n\[ A = \left ( m - \dfrac 1n \right) \left( n - \dfrac 1p \right) \left( p - \dfrac 1m \right) \]\ndonde $m\geq n\geq p \geq 1$ son números enteros.

Sean $a,b,c$ números reales distintos tales que $a+b+c>0$. Sea $M$ el conjunto de matrices de $3\times 3$ con la propiedad de que cada fila y cada columna contienen todos los números dados $a,b,c$. Encuentre $\{\max \{ \det A \mid A \in M \}$ y el número de matrices que realizan el valor máximo.

Para un conjunto finito $ X$ de enteros positivos, sea $ \Sigma(X) = \sum_{x \in X} \arctan \frac{1}{x}.$ Dado un conjunto finito $ S$ de enteros positivos para el cual $ \Sigma(S) < \frac{\pi}{2},$ demuestra que existe al menos un conjunto finito $ T$ de enteros positivos para el cual $ S \subset T$ y $ \Sigma(S) = \frac{\pi}{2}.$

Dados cuatro puntos $ A_1, A_2, A_3, A_4$ en el plano, no tres colineales, tales que \[ A_1A_2 \cdot A_3 A_4 = A_1 A_3 \cdot A_2 A_4 = A_1 A_4 \cdot A_2 A_3, \n\] \ndenotamos por $ O_i$ el circuncentro de $ \triangle A_j A_k A_l$ con $ \{i,j,k,l\} = \{1,2,3,4\}.$ Asumiendo $ \forall i A_i \neq O_i ,$ demuestra que las cuatro líneas $ A_iO_i$ son concurrentes o paralelas.

Un conjunto $ S$ de puntos en el espacio satisface la propiedad de que todas las distancias por pares entre puntos en $ S$ son distintas. Dado que todos los puntos en $ S$ tienen coordenadas enteras $ (x,y,z)$ donde $ 1 \leq x,y, z \leq n,$ demuestra que el número de puntos en $ S$ es menor que $ \min \Big((n + 2)\sqrt {\frac {n}{3}}, n \sqrt {6}\Big).$

Para $ a_i \in \mathbb{Z}^ +$ , $ i = 1, \ldots, k$ , y $ n = \sum^k_{i = 1} a_i$ , sea $ d = \gcd(a_1, \ldots, a_k)$ el máximo común divisor de $ a_1, \ldots, a_k$ . Demuestra que $ \frac {d} {n} \cdot \frac {n!}{\prod\limits^k_{i = 1} (a_i!)}$ es un entero.

Dos cuadrados idénticos que tienen una longitud de lado de $ 5\text{cm} $ se dividen cada uno por separado en $ 5 $ regiones a través de la intersección con algunas líneas. Demuestra que podemos colorear las regiones del primer cuadrado con cinco colores y las regiones del segundo con los mismos cinco colores de tal manera que la suma de las áreas de las regiones resultantes que tienen los mismos colores al superponer los dos cuadrados sea al menos $ 5\text{cm}^2. $

Sean $ D,E,F $ los pies de las bisectrices interiores desde $ A,B, $ respectivamente $ C, $ y sean $ A',B',C' $ los puntos simétricos de $ A,B, $ respectivamente, $ C, $ a $ D,E, $ respectivamente $ F, $ tales que $ A,B,C $ se encuentran en $ B'C',A'C', $ respectivamente, $ A'B'. $ Demuestra que el $ ABC $ es equilátero.

Sea una potencia natural de dos. Encuentra el número de números equivalentes con $ 1 $ módulo $ 3 $ que lo dividen.

Sea un número natural $ n\ge 2, n $ números reales $ b_1,b_2,\ldots ,b_n , $ y $ n-1 $ números reales positivos $ a_1,a_2,\ldots ,a_{n-1} $ tales que $ a_1+a_2+\cdots +a_{n-1} =1. $ Demuestra la desigualdad $$ b_1^2+\frac{b_2^2}{a_1} +\frac{b_3^2}{a_2} +\cdots +\frac{b_n^2}{a_{n-1}} \ge 2b_1\left( b_2+b_3+\cdots +b_n \right) , $$ y especifica cuando se alcanza la igualdad.