Sea $\mathbb N$ denote el conjunto de todos los números naturales. Demuestre que existen dos subconjuntos no vacíos $A$ y $B$ de $\mathbb N$ tales que $A\cap B=\{1\};$ todo número en $\mathbb N$ puede ser expresado como el producto de un número en $A$ y un número en $B$ ; cada número primo es un divisor de algún número en $A$ y también algún número en $B$ ; uno de los conjuntos $A$ y $B$ tiene la siguiente propiedad: si los números en este conjunto se escriben como $x_1<x_2<x_3<\cdots$ , entonces para cualquier entero positivo dado $M$ existe $k\in \mathbb N$ tal que $x_{k+1}-x_k\ge M$ . Cada conjunto tiene infinitos números compuestos.