Determinar todos los enteros $a$ tales que $a^k + 1$ es divisible por $12321$ para algún $k$

Un conjunto $A_1 , A_2 , A_3 , A_4$ de 4 puntos en el plano se dice que es un conjunto ateniense si hay un punto $P$ del plano que satisface (*) $P$ no está en ninguna de las líneas $A_i A_j$ para $1 \leq i < j \leq 4$ ; (**) la línea que une $P$ con el punto medio de la línea $A_i A_j$ es perpendicular a la línea que une $P$ con el punto medio de $A_k A_l$ , $i,j,k,l$ siendo distintos.\n(a) Encontrar todos los conjuntos atenienses en el plano.\n(b) Para un conjunto ateniense dado, encontrar el conjunto de todos los puntos $P$ en el plano que satisfacen (*) y (**)

Sea $f$ una biyección del conjunto de todos los números naturales en sí mismo. Demostrar que existen enteros positivos $a < a+d < a+ 2d$ tales que $f(a) < f(a+d) <f(a+2d)$

Supongamos que el polinomio $P(x) \equiv x^3 + ax^2 + bx +c$ tiene sólo ceros reales y sea $Q(x) \equiv 5x^2 - 16x + 2004$ . Asumir que $P(Q(x)) = 0$ no tiene raíces reales. Demostrar que $P(2004) > 2004$

Encontrar todas las ternas $(x,y,n)$ de enteros positivos tales que \[ (x+y)(1+xy) = 2^{n} \]

Demostrar que en cualquier triángulo $ABC$ , \[ 0 < \cot { \left( \frac{A}{4} \right)} - \tan{ \left( \frac{B}{4} \right) } - \tan{ \left( \frac{C}{4} \right) } - 1 < 2 \cot { \left( \frac{A}{2} \right) }. \]

Dada una permutación $\sigma = (a_1,a_2,a_3,...a_n)$ de $(1,2,3,...n)$ , un par ordenado $(a_j,a_k)$ se llama inversión de $\sigma$ si $a \leq j < k \leq n$ y $a_j > a_k$ . Sea $m(\sigma)$ el número de inversiones de la permutación $\sigma$ . Encuentra el promedio de $m(\sigma)$ cuando $\sigma$ varía sobre todas las permutaciones.

Para $a,b,c$ reales positivos, encontrar el valor mínimo de \[ \frac{a^2+b^2}{c^2+ab}+\frac{b^2+c^2}{a^2+bc}+\frac{c^2+a^2}{b^2+ca}. \]

Demostrar que para todo entero positivo $n$ existe un número de $n$ dígitos divisible por $5^n$ todos cuyos dígitos son impares.

Sean $ABCD$ un cuadrilátero cíclico. Sean $P$ , $Q$ , $R$ los pies de las perpendiculares desde $D$ a las líneas $BC$ , $CA$ , $AB$ , respectivamente. Demostrar que $PQ=QR$ si y sólo si las bisectrices de $\angle ABC$ y $\angle ADC$ son concurrentes con $AC$ .