Un entero positivo $N$ es "interoceanico" si su factorizacion prima $$N=p_1^{x_1}p_2^{x_2}\cdots p_k^{x_k}$$ satisface $$x_1+x_2+\cdots+x_k=p_1+p_2+\cdots+p_k.$$ Encuentra todos los numeros interoceanicos menores que $2020$.

Sea $ABC$ un triángulo, $\Gamma$ su circuncírculo y $l$ la tangente a $\Gamma$ por $A$. Las alturas de $B$ y $C$ se prolongan y se encuentran con $l$ en $D$ y $E$, respectivamente. Las rectas $DC$ y $EB$ vuelven a encontrarse con $\Gamma$ en $P$ y $Q$, respectivamente. Demuestra que el triángulo $APQ$ es isósceles.

Sea $ABC$ un triángulo y $\Gamma$ su circumcírculo. Sea $D$ el pie de la altura desde $A$ al lado $BC$, $M$ y $N$ los puntos medios de $AB$ y $AC$, y $Q$ el punto de $\Gamma$ diametralmente opuesto a $A$. Sea $E$ el punto medio de $DQ$. Demuestra que las rectas perpendiculares a $EM$ y $EN$ que pasan por $M$ y $N$ respectivamente, se encuentran en $AD$.

Tenemos un polígono regular $P$ con 2019 vértices, y en cada vértice hay una moneda. Dos jugadores Azul y Rojo se turnan alternativamente, empezando por Azul, de la siguiente manera: primero, Azul elige un triángulo con vértices en $P$ y colorea su interior de azul, luego Rojo elige un triángulo con vértices en $P$ y colorea su interior de rojo, de manera que los triángulos formados en cada jugada no se cruzan internamente con los triángulos coloreados anteriores. Continúan jugando hasta que no sea posible elegir otro triángulo para colorear. Entonces, un jugador gana la moneda de un vértice si coloreó la mayor cantidad de triángulos incidentes en ese vértice (si las cantidades de triángulos coloreados con azul o rojo incidentes en el vértice son iguales, entonces nadie gana esa moneda y la moneda se borra). El jugador con la mayor cantidad de monedas gana la partida. Encuentra una estrategia ganadora para uno de los jugadores.

Sean $a, b$ y $c$ números reales positivos de tales que $a+b+c=1$. Demuestra que\n\[ a\sqrt{a^2+6bc}+b\sqrt{b^2+6ac}+c\sqrt{c^2+6ab}\leq\frac{3\sqrt{2}}{4}.\]

Sea $N=\overline{abcd}$ un número entero positivo de cuatro cifras. Nombramos "potencia plátano" al menor entero positivo $p(N)=\overline{\alpha_1\alpha_2\ldots\alpha_k}$ que se puede intercalar entre los números $\overline{ab}$ y $\overline{cd}$ de tal manera que el nuevo número $\overline{ab\alpha_1\alpha_2\ldots\alpha_kcd}$ sea divisible por $N$. Determina el valor de $p(2025)$.

Un triminó es una ficha rectangular de $1\times 3$. ¿Es posible cubrir un tablero de ajedrez de $8 \times 8$ utilizando $21$ triminós, de tal manera que quede exactamente una casilla de $1 \times 1$ sin cubrir? En caso de que la respuesta sea afirmativa, determine todas las posibles ubicaciones de dicha casilla unitaria en el tablero de ajedrez.

En La Habana se realiza un baile con $2018$ parejas. Para el baile, se dispone de una circunferencia donde inicialmente se marcan $2018$ puntos distintos, etiquetados con los números $0,1,\ldots,2017$. Las parejas son ubicadas sobre los puntos marcados, una en cada punto. Para $i\ge1$, se define $s_i$ como el residuo de dividir $i$ entre $2018$ y $r_i$ como el residuo de dividir $2i$ entre $2018$. El baile comienza en el minuto $0$. En el $i-$ésimo minuto después de haber inciado el baile, la pareja ubicada en el punto $s_i$ (si la hay) se mueve al punto $r_i$, la pareja que ocupaba el punto $r_i$ (si la hay) se retira, y el baile continúa con las parejas restantes. El baile termina después de $2018^2$ minutos. Determina cuantas parejas quedarán al terminar el baile.

Susana y Brenda juegan a escribir polinomios en la pizarra. Susana empieza y juegan por turnos. En el turno preparatorio (turno $0$), Susana elige un entero positivo $n_0$ y escribe el polinomio $P_0(x)=n_0$. En el turno $1$, Brenda elige un entero positivo $n_1$, distinto de $n_0$, y escribe el polinomio \[ P_1(x)=n_1x+P_0(x) \text{ o } P_1(x)=n_1x-P_0(x). \] En general, en el turno $k$, el jugador respectivo elige un número entero $n_k$, diferente de $n_0, n_1, \ldots, n_{k-1}$, y escribe el polinomio \[P_k(x)=n_kx^k+P_{k-1}(x) \text{ o } P_k(x)=n_kx^k-P_{k-1}(x).\] El primer jugador que escriba un polinomio con al menos una raíz entera gana. Encuentra y describe una estrategia ganadora.

$ABC$ es un triángulo rectángulo, con $\angle ABC = 90^{\circ}$. $B'$ es la reflexión de $B$ sobre $AC$. $M$ es el punto medio de $AC$. Elegimos $D$ sobre $\overline{BM}$, tal que $BD = AC$. Demostrar que $B'C$ es la bisectriz de $\angle MB'D$. NOTA: Una condición importante que no se menciona en el problema original es $AB\lt BC$. En caso contrario, $\angle MB'D$ no está definido o en otras palabras, $B'C$ es la bisectriz externa.