Se tienen $n \ge 2$ segmentos en el plano tales que cada par de segmentos se intersectan en un punto interior a ambos, y no hay tres segmentos que tengan un punto en común. Mafalda debe elegir uno de los extremos de cada segmento y colocar sobre él una rana mirando hacia el otro extremo. Luego silbará $n-1$ veces. En cada silbido, cada rana saltará inmediatamente hacia adelante hasta el siguiente punto de intersección sobre su segmento. Las ranas nunca cambian las direcciones de sus saltos. Mafalda quiere colocar las ranas de tal forma que nunca dos de ellas ocupen al mismo tiempo el mismo punto de intersección. (a) Demuestra que si $n$ es impar, Mafalda siempre puede lograr su objetivo. (b) Demuestra que si $n$ es par, Mafalda nunca logrará su objetivo.

Determinar todas las ternas $(a,b,c)$ de enteros positivos tales que cada uno de los números $$ab-c, \quad bc-a,\quad ca-b$$ es una potencia de 2.

Demostrar que para cualquier par de enteros positivos $k$ y $n$, existen $k$ enteros positivos $m_1, m_2, \dots , m_k$ (no necesariamente distintos) tales que \[1+\frac{2^k-1}{n}=\left(1+\frac1{m_1}\right)\cdots \left(1+\frac1{m_k}\right).\]

Sea $n \geq 3$ un número entero. Se considera una circunferencia en la que se han marcado $n + 1$ puntos igualmente espaciados. Cada punto se etiqueta con uno de los números $0, 1, \dots, n$ de manera que cada número se usa exactamente una vez. Dos distribuciones de etiquetas se consideran la misma si una se puede obtener de la otra por una rotación de la circunferencia. Una distribución de etiquetas se llama bonita si, para cualesquiera cuatro etiquetas $a \lt b \lt c \lt d$, con $a + d = b + c$, la cuerda que une los puntos etiquetados $a$ y $d$ no corta la cuerda que une los puntos etiquetados $b$ y $c$. Sea $M$ el número de distribuciones bonitas y $N$ el número de pares ordenados $(x,y)$ de enteros positivos tales que $x + y \leq n$ y $\text{mcd} (x, y) = 1$. Demuestra que $M=N+1$.

Demuetra que no existen enteros positivos $x$ e $y$ tales que $$x^{2008}+2008!=21^y.$$

Encuentra todas las parejas de enteros $(x,y)$ tales que \[1+2^{x}+2^{2x+1}= y^{2}.\]

Definimos un "gancho" como una figura de 6 cuadritos unitarios como la que está en la imagen, o cualquier figura obtenida por la imagen aplicando rotaciones y reflexiones. Encuentra todos los rectángulos de $m\times n$ que pueden ser cubiertos completamente sin hoyos ni sobrelaparse con ganchos.

$21$ niñas y $21$ niños participaron en un concurso matemático. Sucedió que cada participante resolvió a lo más seis problemas, y para cada pareja de niña-niño, hubo al menos un problema resuelto por ambos. Muestra que hubo un problema que fue resuelto por al menos tres niñas y al menos tres niños.

Una terna ordenada $(p, q, r)$ de números primos se llama parcera si $p$ divide $q^2-4$, $q$ divide $r^2-4$ y $r$ divide $p^2-4$. Encuentra todos las ternas parceras.

Hay $2021$ personas en una reunión. Se sabe que una persona de la reunión no tiene ningún amigo allí y que otra persona sólo tiene un amigo allí (la amistad es reciproca). Además, es cierto que, dadas cualesquiera $4$ personas, al menos $2$ de ellas son amigos. Demuestra que hay $2018$ personas en la reunión que son todas amigas entre sí.