Sea $ ABC$ un triángulo acutángulo arbitrario. Para cualquier punto $ P$ que se encuentre dentro del triángulo, sean $ D$ , $ E$ , $ F$ los pies de las perpendiculares desde $ P$ hacia los lados $ AB$ , $ BC$ , $ CA$ respectivamente. Determine el conjunto de todas las posiciones posibles del punto $ P$ para las cuales el triángulo $ DEF$ es isósceles. ¿Para qué posición de $ P$ el triángulo $ DEF$ se volverá equilátero?

El triángulo $ ABC$ es escaleno con el ángulo $ A$ que tiene una medida mayor que 90 grados. Determine el conjunto de puntos $ D$ que se encuentran en la línea extendida $ BC$ , para los cuales \[ |AD|=\sqrt{|BD| \cdot |CD|}\] donde $ |BD|$ se refiere a la distancia (positiva) entre $ B$ y $ D$ .

Sean $ a$ , $ b$ , $ c$ los lados de un triángulo. Demuestre que la cantidad \[ \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\] debe estar entre los límites $ 3/2$ y 2. ¿Puede la igualdad mantenerse en cualquiera de los límites?

Considere la colección de todos los subconjuntos de tres elementos extraídos del conjunto $ \{1,2,3,4,\dots,299,300\}$ . Determine el número de aquellos subconjuntos para los cuales la suma de los elementos es un múltiplo de 3.

Sea $ f$ una función definida en el conjunto de los enteros no negativos y que toma valores en el mismo conjunto. Dado que (a) $ \displaystyle x - f(x) = 19\left[\frac{x}{19}\right] - 90\left[\frac{f(x)}{90}\right]$ para todos los enteros no negativos $ x$ ; (b) $ 1900 < f(1990) < 2000$ , encuentre los posibles valores que $ f(1990)$ puede tomar. (Notación: aquí $ [z]$ se refiere al entero más grande que es $ \leq z$ , por ejemplo, $ [3.1415] = 3$ ).

Determine todos los pares integrales no negativos $ (x, y)$ para los cuales \[ (xy - 7)^2 = x^2 + y^2.\]

Dada la ecuación \[ x^4 + px^3 + qx^2 + rx + s = 0\] que tiene cuatro raíces reales y positivas, demuestre que (a) $ pr - 16s \geq 0$ (b) $ q^2 - 36s \geq 0$ con igualdad en cada caso si y sólo si las cuatro raíces son iguales.

Demuestre que de un conjunto de $11$ enteros cuadrados se pueden seleccionar seis números $a^2,b^2,c^2,d^2,e^2,f^2$ tales que $a^2+b^2+c^2 \equiv d^2+e^2+f^2\pmod{12}$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Sean las diagonales $AC$ y $BD$ que se intersecan en $P$. Sean $PE, PF, PG$ y $PH$ las alturas desde $P$ sobre los lados $AB, BC, CD$ y $DA$ respectivamente. Demuestre que $ABCD$ tiene un incírculo si y sólo si $\frac{1}{PE}+\frac{1}{PG}=\frac{1}{PF}+\frac{1}{PH}.$

Hay cuatro jugadores de baloncesto $A,B,C,D$. Inicialmente la pelota está con $A$. La pelota siempre se pasa de una persona a otra diferente. ¿De cuántas maneras puede la pelota volver a $A$ después de $\textbf{siete}$ movimientos? (por ejemplo $A\rightarrow C\rightarrow B\rightarrow D\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow A$ , o $A\rightarrow D\rightarrow A\rightarrow D\rightarrow C\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow A)$ .