Se construye un polígono regular de $n$ lados ($n\geq 3$) y se enumeran sus vértices de $1$ a $n$. Se trazan todas las diagonales del polígono. Demuestra que si $n$ es impar, se puede asignar a cada lado y a cada diagonal un número entero del $1$ al $n$, tal que se cumplan simultáneamente las siguientes condiciones: 1. El número asignado a cada lado o diagonal sea distinto a los asignados a los vértices que une. 2. Para cada vértice, todos los lados y diagonales que compartan dicho vértice tengan números diferentes.

Encontrar todas las soluciones de la ecuación $$(x+1)^y-x^z=1$$ para $x,y,z$ enteros mayores que $1$.

De una progresión aritmética infinita $1,a_1,a_2,\ldots,$ de números reales se eliminan términos, obteniéndose una progresión geométrica infinita $1,b_1,b_2,\ldots,$ de razón $q$. Encuentra los posibles valores de $q$.

Sean $S_1$ y $S_2$ dos circunferencias, de centros $O_1$ y $O_2$ respectivamente, secantes en $M$ y $N$. La recta $t$ es la tangente común a $S_1$ y $S_2$, más cercana a $M$. Los puntos $A$ y $B$ son los respectivos puntos de contacto de $t$ con $S_1$ y $S_2$, $C$ el punto diametralmente opuesto a $B$ y $D$ el punto de intersección de la recta $O_1O_2$ con la recta perpendicular a la recta $AM$ trazada por $B$. Demuestra que $M$, $D$ y $C$ están alineados.

Hay un montón de $2000$ piedras. Dos jugadores se turnan para retirar piedras, alternadamente, de acuerdo a las siguientes reglas: 1. En cada jugada se pueden retirar $1$, $2$, $3$, $4$ o $5$ piedras del montón. 2. En cada jugada se prohibe que el jugador retire la misma cantidad de piedras que retiró su oponente en la jugada previa. Pierde el jugador que en su turno no pueda realizar una jugada válida. Determina cuál jugador tiene estrategia ganadora y encontrarla.

Un hexágono convexo se denomina bonito si tiene cuatro diagonales de longitud $1$, cuyos extremos incluyen todos los vértices del hexágono. 1. Dado cualquier número $k$, mayor que $0$ y menor o igual que $1$, encuentra un hexágono bonito de área $k$. 2. Demuestra que el área de cualquier hexágono bonito es menor que $\frac{3}{2}$.

Dos equipos, $A$ y $B$, disputan el territorio limitado por una circunferencia. $A$ tiene $n$ banderas azules y $B$ tiene $n$ banderas blancas ($n>2$, fijo). Juegan alternadamente y $A$ comienza el juego. Cada equipo, en su turno, coloca una de sus banderas en un punto de la circunferencia que no se haya usado en una jugada anterior. Cada bandera, una vez colocada, no se puede cambiar de lugar. Una vez colocadas las $2n$ banderas se reparte el territorio entre los dos equipos. Un punto del territorio es del equipo $A$ si la bandera más próxima a él es azul, y es del equipo $B$ si la bandera más próxima a él es blanca. Si la bandera azul más próxima a un punto está a la misma distancia que la bandera blanca más próxima a ese punto, entonces el punto es neutro (no es de $A$ ni de $B$). Un equipo gana el juego si sus puntos cubren un área mayor que el área cubierta por los puntos del otro equipo. Hay empate si ambos cubren áreas iguales. Demostrar que, para todo $n$, el equipo $B$ tiene estrategia para ganar el juego.

Sea $n \gt 1$ un entero. A lo largo de la pendiente de una montaña hay $n^2$ estaciones, todas a diferentes altitudes. Dos compañías de teleférico, $A$ y $B$, operan $k$ teleféricos cada una. Cada teleférico realiza el servicio desde una estación a otra de mayor altitud (sin paradas intermedias). Los teleféricos de la compañía $A$ parten de $k$ estaciones diferentes y acaban en $k$ estaciones diferentes; igualmente, si un teleférico parte de una estación más alta que la de otro, también acaba en una estación más alta que la del otro. La compañía $B$ satisface las mismas condiciones. Decimos que dos estaciones están unidas por una compañía si uno puede comenzar por la más baja y llegar a la más alta con uno o más teleféricos de esa compañía (no se permite otro tipo de movimientos entre estaciones). Determina el menor entero positivo $k$ para el cual se puede garantizar que hay dos estaciones unidas por ambas compañías.

Para cada entero $a_0 \gt 1$, se define la sucesión $a_0, a_1, a_2, \dots$ tal que para cada $n \ge 0$, $a_{n+1} = \sqrt{a_n}$ si $\sqrt{a_n}$ es entero, y $a_{n+1} = a_n + 3$ en otro caso. Determina todos los valores de $a_0$ para los que existe un número $A$ tal que $a_n = A$ para infinitos valores de $n$.

Sea $N \ge 2$ un entero dado. Los $N(N + 1)$ jugadores de un grupo de futbolistas, todos de distinta estatura, se colocan en fila. Muestra que siempre es posible quitar $N(N - 1)$ jugadores de esta fila, de modo que la fila resultante formada por los 2N jugadores restantes satisfaga las $N$ condiciones siguientes: ($1$) Que no quede nadie ubicado entre los dos jugadores más altos. ($2$) Que no quede nadie ubicado entre el tercer jugador más alto y el cuarto jugador más alto. $\vdots$ ($N$) Que no quede nadie ubicado entre los dos jugadores de menor estatura. Demuestra que esto siempre es posible.