La ecuación $166 \times 56 = 8590$ es válida en alguna base $b \ge 10$ (es decir, $1, 6, 5, 8, 9, 0$ son dígitos en base $b$ en la ecuación anterior). Encuentre la suma de todos los valores posibles de $b \ge 10$ que satisfacen la ecuación.

Considere todos los números de $6$ dígitos de la forma $abccba$ donde $b$ es impar. Determine el número de todos esos números de $6$ dígitos que son divisibles por $7$.

En un cuadrilátero ABCD, se da que AB = AD = 13, BC = CD = 20, BD = 24. Si r es el radio del círculo inscribible en el cuadrilátero, ¿cuál es el entero más cercano a r?

Un libro se publica en tres volúmenes, las páginas están numeradas desde $1$ en adelante. Los números de página continúan desde el primer volumen hasta el segundo y hasta el tercero. El número de páginas en el segundo volumen es $50$ más que en el primer volumen, y el número de páginas en el tercer volumen es una vez y media el del segundo. La suma de los números de página en las primeras páginas de los tres volúmenes es $1709$. Si $n$ es el último número de página, ¿cuál es el factor primo más grande de $n$?

Encuentre el número de pares no ordenados $\{ A,B \}$ de subconjuntos de un conjunto $X$ de n elementos que satisfacen lo siguiente: (a) $A \not= B$ (b) $A \cup B = X$

Sean $x,y,z$ tres números reales positivos distintos. Determine si los tres números reales \[ \left| \frac{x}{y} - \frac{y}{x}\right| ,\left| \frac{y}{z} - \frac{z}{y}\right |, \left| \frac{z}{x} - \frac{x}{z}\right| \] pueden ser las longitudes de los lados de un triángulo.

En un cuadrilátero $ABCD$ , se da que $AB$ es paralelo a $CD$ y las diagonales $AC$ y $BD$ son perpendiculares entre sí. Demuestre que (a) $AD \cdot BC \geq AB \cdot CD$ (b) $AD + BC \geq AB + CD.$

Resuelva para $x$ real : \[ \frac{1}{[x]} + \frac{1}{[2x]} = x - [x] + \frac{1}{3}. \]

Para cada entero positivo $n$ , defina $a_n = 20 + n^2$ y $d_n = gcd(a_n, a_{n+1})$ . Encuentre el conjunto de todos los valores que toma $d_n$ y muestre con ejemplos que cada uno de estos valores se alcanza.

Sea $P$ un punto interior de un triángulo $ABC$ y sean $BP$ y $CP$ que se intersecan con $AC$ y $AB$ en $E$ y $F$ respectivamente. Si $S_{BPF} = 4$ , $S_{BPC} = 8$ y $S_{CPE} = 13$ , encuentre $S_{AFPE}.$