Sean $p_1, p_2, \ldots, p_{25}$ primos que no exceden 2004. Encuentra el entero más grande $T$ tal que cada entero positivo $ \leq T$ puede ser expresado como sumas de divisores distintos de $(p_1\cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_{25})^{2004}.$

Los puntos $D,E,F$ están en los lados $BC, CA$ y $AB$ , respectivamente, que satisfacen $EF || BC$ , $D_1$ es un punto en $BC,$ Construye $D_1E_1 || DE, D_1F_1 || DF$ que intersecan a $AC$ y $AB$ en $E_1$ y $F_1$ , respectivamente. Construye $ \bigtriangleup PBC \sim \bigtriangleup DEF$ tal que $P$ y $A$ estén en el mismo lado de $BC.$ Demuestra que $E, E_1F_1, PD_1$ son concurrentes.

Sea $k \geq 2, 1 < n_1 < n_2 < \ldots < n_k$ son enteros positivos, $a,b \in \mathbb{Z}^+$ satisfacen\n\[ \prod^k_{i=1} \left( 1 - \frac{1}{n_i} \right) \leq \frac{a}{b} < \prod^{k-1}_{i=1} \left( 1 - \frac{1}{n_i} \right) \]\nDemuestra que:\n\[ \prod^k_{i=1} n_i \geq (4 \cdot a)^{2^k - 1}. \]

Sea u un entero positivo fijo. Demuestra que la ecuación $n! = u^{\alpha} - u^{\beta}$ tiene un número finito de soluciones $(n, \alpha, \beta).$

Sea $ \angle XOY = \frac{\pi}{2}$ ; $P$ es un punto dentro de $ \angle XOY$ y tenemos $OP = 1; \angle XOP = \frac{\pi}{6}.$ Una línea que pasa por $P$ interseca a los rayos $OX$ y $OY$ en $M$ y $N$ . Encuentra el valor máximo de $OM + ON - MN.$

Llamamos a un grafo con n vértices $k-flowing-chromatic$ si: 1. podemos colocar una pieza de ajedrez en cada vértice y dos piezas de ajedrez vecinas cualesquiera (conectadas por una arista) tienen diferentes colores. 2. podemos elegir un ciclo hamiltoniano $v_1,v_2,\cdots , v_n$ , y mover la pieza de ajedrez en $v_i$ a $v_{i+1}$ con $i=1,2,\cdots ,n$ y $v_{n+1}=v_1$ , de tal manera que dos piezas de ajedrez vecinas cualesquiera también tengan diferentes colores. 3. después de alguna acción del paso 2 podemos hacer que todas las piezas de ajedrez alcancen cada uno de los n vértices. Sea T(G) denote el menor número k tal que G es k-flowing-chromatic. Si tal k no existe, denote T(G)=0. denote $\chi (G)$ el número cromático de G. Encuentra todos los números positivos m tales que hay un grafo G con $\chi (G)\le m$ y $T(G)\ge 2^m$ sin un ciclo de longitud menor que 2017.

A(x,y), B(x,y), y C(x,y) son tres polinomios homogéneos de coeficientes reales de x e y con grado 2, 3 y 4 respectivamente. Sabemos que hay un polinomio de coeficientes reales R(x,y) tal que $B(x,y)^2-4A(x,y)C(x,y)=-R(x,y)^2$ . Prueba que existen 2 polinomios F(x,y,z) y G(x,y,z) tales que $F(x,y,z)^2+G(x,y,z)^2=A(x,y)z^2+B(x,y)z+C(x,y)$ si para cualquier x, y, z números reales $A(x,y)z^2+B(x,y)z+C(x,y)\ge 0$

Dado un círculo con radio 1 y 2 puntos C, D dados en él. Dada una constante l con $0<l\le 2$ . Moviendo la cuerda del círculo AB=l y ABCD es un cuadrilátero convexo no degenerado. AC y BD se intersectan en P. Encuentra los lugares geométricos de los circuncentros de los triángulos ABP y BCP.

Para un punto racional (x,y), si xy es un entero que se divide por 2 pero no por 3, colorea (x,y) de rojo, si xy es un entero que se divide por 3 pero no por 2, colorea (x,y) de azul. Determina si existe un segmento de línea en el plano tal que contenga exactamente 2017 puntos azules y 58 puntos rojos.

Encuentra el menor número positivo m tal que para cualquier polinomio f(x) con coeficientes reales, existe un polinomio g(x) con coeficientes reales (grado no mayor que m) tal que existen 2017 números distintos $a_1,a_2,...,a_{2017}$ tales que $g(a_i)=f(a_{i+1})$ para i=1,2,...,2017 donde los índices se toman módulo 2017.