La longitud de los lados del hexágono regular $ABCDEF$ es $a$ . Dos puntos móviles $M,N$ se mueven en los lados $BC,DE$ , satisfaciendo que $\angle MAN=\frac{\pi}{3}$ . Demuestra que $AM\cdot AN-BM\cdot DN$ es un valor definido.

Entero positivo $n\geq3$ . $a_1,a_2,\cdots,a_n$ son $n$ enteros positivos que son coprimos por pares, satisfaciendo que existe $k_1,k_2,\cdots,k_n\in\{-1,1\}, \sum_{i=1}^{n}k_ia_i=0$ . ¿Existen enteros positivos $b_1,b_2,\cdots,b_n$ , para cualquier $k\in\mathbb{Z}_+$ , $b_1+ka_1,b_2+ka_2,\cdots,b_n+ka_n$ son coprimos por pares?

Sea \(Q\) un conjunto de permutaciones de \(1,2,...,100\) tal que para todo \(1\leq a,b \leq 100\) , \(a\) se puede encontrar a la izquierda de \(b\) y adyacente a \(b\) en como máximo una permutación en \(Q\) . Encuentra el mayor número posible de elementos en \(Q\) .

Sea \(D\) el punto medio del lado \(BC\) del triángulo \(ABC\) . Sean \(E, F\) puntos en los lados \(AB, AC\) respectivamente tales que \(DE = DF\) . Demuestra que \(AE + AF = BE + CF \iff \angle EDF = \angle BAC\).

Define la secuencia $(a_n):a_1=\text{e},a_2=\text{e}^3,\text{e}^{1-k}a_n^{k+2}=a_{n+1}a_{n-1}^{2k}$ para todo $n\geq2$ , donde $k$ es un número real positivo. Encuentra $\prod_{i=1}^{2017}a_i$ .

Sea \(n>1\) un entero, y sean \(x_1, x_2, ..., x_n\) números reales que satisfacen \(x_1, x_2, ..., x_n \in [0,n]\) con \(x_1x_2...x_n = (n-x_1)(n-x_2)...(n-x_n)\) . Encuentra el valor máximo de \(y = x_1 + x_2 + ... + x_n\) .

Sea \(S(n)\) la suma de los dígitos de la representación en base 10 de un número natural \(n\) . Por ejemplo. \(S(2017) = 2+0+1+7 = 10\) . Demuestra que para todo primo \(p\) , existen infinitos \(n\) que satisfacen \(S(n) \equiv n \mod p\).

Encuentra todos los enteros \(n\) tales que existe un pentágono cóncavo que puede ser diseccionado en \(n\) triángulos congruentes.

El triángulo \(ABC\) tiene \(AB > AC\) y \(\angle A = 60^\circ \) . Sea \(M\) el punto medio de \(BC\) , \(N\) el punto en el segmento \(AB\) tal que \(\angle BNM = 30^\circ\) . Sean \(D,E\) puntos en \(AB, AC\) respectivamente. Sean \(F, G, H\) los puntos medios de \(BE, CD, DE\) respectivamente. Sea \(O\) el circuncentro del triángulo \(FGH\) . Demuestra que \(O\) está en la línea \(MN\) .

Sea \(Q\) un conjunto de permutaciones de \(1,2,...,100\) tal que para todo \(1\leq a,b \leq 100\) , \(a\) se puede encontrar a la izquierda de \(b\) y adyacente a \(b\) en como máximo una permutación en \(Q\) . Encuentra el mayor número posible de elementos en \(Q\) .