Para un entero no nulo $k$, denote por $\nu_2(k)$ el entero no negativo maximal $t$ tal que $2^t \mid k$. Dados $n (\ge 2)$ enteros distintos por pares $a_1, a_2, \ldots, a_n$. Muestre que existe un entero $x$, distinto de $a_1, \ldots, a_n$, tal que entre $\nu_2(x - a_1), \ldots, \nu_2(x - a_n)$ hay al menos $n/4$ números impares y al menos $n/4$ números pares.

Sea $\triangle ABC$ un triángulo con $\angle A \neq 60^\circ$. Sean $I_B, I_C$ los excentros $B, C$ del triángulo $ABC$, sea $B^\prime$ la reflexión de $B$ con respecto a $AC$, y sea $C^\prime$ la reflexión de $C$ con respecto a $AB$. Sea $P$ la intersección de $I_C B^\prime$ y $I_B C^\prime$. Denote por $P_A, P_B, P_C$ las reflexiones del punto $P$ con respecto a $BC, CA, AB$. Muestre que las tres líneas $A P_A, B P_B, C P_C$ se encuentran en un solo punto.

Encuentre todas las funciones $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ que satisfacen las siguientes condiciones: Para cada $n \in \mathbb{N}$, $f^{(n)}(n) = n$. (Aquí $f^{(1)} = f$ y $f^{(k)} = f^{(k-1)} \circ f$.) Para cada $m, n \in \mathbb{N}$, $\lvert f(mn) - f(m) f(n) \rvert < 2017$.

Sea $f : \mathbb{Z} \to \mathbb{R}$ una función que satisface $f(x) + f(y) + f(z) \ge 0$ para todos los enteros $x, y, z$ con $x + y + z = 0$. Demuestre que \[ f(-2017) + f(-2016) + \cdots + f(2016) + f(2017) \ge 0. \]

Sean $a,b,c,d$ el área de cuatro caras de un tetraedro, satisfaciendo $a+b+c+d=1$. Muestre que $$\sqrt[n]{a^n+b^n+c^n}+\sqrt[n]{b^n+c^n+d^n}+\sqrt[n]{c^n+d^n+a^n}+\sqrt[n]{d^n+a^n+b^n} \le 1+\sqrt[n]{2}$$ se cumple para todos los enteros positivos $n$.

Para un número que consta de $0$ y $1$, se puede realizar la siguiente operación: cambie todos los $1$ en $100$, todos los $0$ en $1$. Para todo entero no negativo $n$, sea $A_n$ el número obtenido al realizar la operación $n$ veces en $1$ (comienza con $100,10011,10011100100,\dots$), y sea $a_n$ el $n$ - ésimo dígito (desde el lado izquierdo) de $A_n$. Pruebe o refute que existe un entero positivo $m$ que satisface lo siguiente: Para cada entero positivo $l$, existe un entero positivo $k\le m$ que satisface $$a_{l+k+1}=a_1,\ a_{l+k+2}=a_2,\ \dots,\ a_{l+k+2017}=a_{2017}$$

$ABC$ es un triángulo obtuso que satisface $\angle A>90^\circ$, y su circuncentro $O$ y circuncírculo $\omega_1$. Sea $\omega_2$ un círculo que pasa por $C$ con centro $B$. $\omega_2$ se encuentra con $BC$ en $D$. $\omega_1$ se encuentra con $AD$ y $\omega_2$ en $E$ y $F(\neq C)$, respectivamente. $AF$ se encuentra con $\omega_2$ en $G(\neq F)$. Pruebe que la intersección de $CE$ y $BG$ se encuentra en el circuncírculo de $AOB$.

Encuentre todos los números primos $p$ tales que el número de pares de enteros positivos $(x,y)$ que satisfacen lo siguiente no sea $29$. $1\le x,y\le 29$ $29\mid y^2-x^p-26$

Para un entero positivo $n$ , si $n$ es un producto de dos primos diferentes y $n \equiv 2 \pmod 3$ , entonces $n$ se llama 'número especial'. Por ejemplo, $14, 26, 35, 38$ son los únicos números especiales entre los enteros positivos $1$ a $50$ . Demuestra que para cualquier conjunto finito $S$ con números especiales, existen dos conjuntos $A, B$ tales que $A \cap B = \emptyset, A \cup B = S$ \n$||A| - |B|| \leq 1$ \nPara todos los primos $p$ , la diferencia entre el número de elementos en $A$ que es múltiplo de $p$ y el número de elementos en $B$ que es múltiplo de $p$ es menor o igual a $1$ .

Las secuencias de números reales positivos $\{ a_n \}$ y $\{ b_n \}$ satisfacen las siguientes condiciones para todos los enteros positivos $n$ . \n$a_{n+1}b_{n+1}= a_n^2 + b_n^2$ \n$a_{n+1}+b_{n+1}=a_nb_n$ \n$a_n \geq b_n$ \nDemuestra que existe un entero positivo $n$ tal que $\frac{a_n}{b_n}>2023^{2023}.$