Probar que todos los enteros positivos impares se pueden escribir en la forma $$a_0 + a_1 \cdot 2 + a_2 \cdot 2^2 + \cdots + a_n \cdot 2^n,$$ donde $n$ es cualquier entero no negativo y cada $a_i$ es 1 o $-1$ (por ejemplo, 11 = 1 – 2 + 4 + 8).

¿Cuál es la máxima longitud de un camino de $A$ a $B$ en la figura, si el camino debe seguir las líneas y no debe repetir ningún segmento (pero sí puede repetir vértices)? [image]

En un estanque hay 100 litros de agua inicialmente. Se desea poner entre 2 y 6 desagües del mismo tamaño, por donde saldrá toda el agua lentamente. Se tienen 100 recipientes: uno con capacidad de 1 litro, otro con capacidad de 2 litros, otro con capacidad de 3 litros y así sucesivamente (el último tiene capacidad de 100 litros). Se quieren escoger algunos de estos recipientes y colocar uno en cada desagüe para recolectar agua (se escoge el mismo número de recipientes que de desagües). Se requiere que la suma de las capacidades de los recipientes escogidos sea 100. Aún cuando un recipiente se llena, el agua continúa saliendo por el desagüe y se tira. Determinar el número óptimo de desagües y las capacidades de los recipientes escogidos de tal manera que la suma de las capacidades de los recipientes llenos cuando se terminan los 100 litros sea máxima. (Nota: Sólo cuentan los recipientes que se hayan sido llenados por completo, por ejemplo, si se colocan cuatro recipientes con capacidades 12, 20, 28 y 40, la cantidad de litros recolectados será de $12 + 20 = 32$).

En una competencia de basquetbol entre 7 equipos todos jugaron el mismo número de juegos. Se sabe que no hubo empates, que dos de los equipos ganaron todos los juegos que jugaron y que otro de los equipos sólo perdió uno. Probar que forzosamente hay algún equipo que perdió todos los juegos que jugó.

Encontrar el mayor número que no tenga cifras repetidas y que sea múltiplo de $99$.

Con piezas de madera de la forma indicada abajo se construyó un rectángulo de lados $a, b$. Determinar cuáles de los siguientes valores para $(a, b)$ son posibles y cuáles no. (Nota: Las piezas se pueden voltear o girar a conveniencia; son L’s construidas pegando tres cuadraditos de $1 × 1$.) $(a, b) = (3, 41), (35, 16), (28, 3), (35, 12), (33, 43), (9, 60).$ [image]

En un triángulo $ABC$, los puntos $P, Q$ y $R$ están sobre los lados $BC, AB$ y $CA$, respectivamente, de manera que $PQ$ es paralela a $AC$ y $PR$ es paralela a $AB$; los puntos $K, S$ y $T$ son las respectivas intersecciones de $AP$ con $QR$, de $CK$ con $AB$ y de $BK$ con $AC$. Probar que si $ST$ es paralela a $BC$ entonces $QR$ también es paralela a $BC$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero tal que $BC || AD$, $| AB | = | CD |$ y $| BC | \\ \leq | AD |$. Un punto $P$ sobre el segmento $BC$ es tal que $\angle BAP = \angle PAD$. Probar que $|BP| \leq |PD|.

El dibujo muestra un rectángulo de $4 \times 7$ en el que el número de segmentos que unen puntos indicados por $\cdot$ es $134$. Determinar todas las posibles dimensiones de rectángulos que se pueden formar con el mismo patrón de construcción y que tengan también $134$ segmentos. [image]

¿De cuántas maneras diferentes es posible escribir $16$ como suma de enteros positivos impares? (Nota: El orden de los sumandos es importante; así, por ejemplo, $7 + 3 + 3 + 3$ y $3 + 7 + 3 + 3$ se consideran distintas.)