Eva recogió algunas manzanas, cada una con un peso máximo de $\frac{1}{2}$ libra. Sus manzanas pesan un total de $W$ libras, donde $W > \frac{1}{3}$ . Demuestra que puede colocar todas sus manzanas en $\left\lceil \frac{3W - 1}{2} \right\rceil$ o menos cestas, cada una de las cuales tiene capacidad para 1 libra de manzanas. (Las manzanas no pueden ser cortadas en pedazos). Nota: Si $x$ es un número real, entonces $\lceil x \rceil$ (el techo de $x$ ) es el entero más pequeño que es mayor o igual a $x$ .

El triángulo $T_1$ tiene lados de longitud $a_1$ , $b_1$ , y $c_1$ ; su área es $K_1$ . El triángulo $T_2$ tiene lados de longitud $a_2$ , $b_2$ , y $c_2$ ; su área es $K_2$ . El triángulo $T_3$ tiene lados de longitud $a_1 + a_2$ , $b_1 + b_2$ , y $c_1 + c_2$ ; su área es $K_3$ . \n(a) Demuestra que $K_1^2 + K_2^2 < K_3^2$ . \n(b) Demuestra que $\sqrt{K_1} + \sqrt{K_2} \le \sqrt{K_3} \,$ .

Sea $S$ un conjunto de $n$ puntos en el plano coordenado. Se dice que un par de puntos está alineado si los dos puntos tienen la misma coordenada $x$ o la coordenada $y$. Demuestre que $S$ se puede dividir en subconjuntos disjuntos tales que (a) cada uno de estos subconjuntos es un conjunto colineal de puntos, y (b) a lo sumo $n^{3/2}$ pares no ordenados de puntos distintos en $S$ están alineados pero no están en el mismo subconjunto.

Sean $p$ y $q$ enteros tales que $q$ es distinto de cero. Demuestre que \[ \Bigl\lvert \frac{p}{q} - \sqrt{7} \Bigr\rvert \ge \frac{24 - 9\sqrt{7}}{q^2} \, . \]

Demuestre que para cada entero positivo $n$, existen enteros $a$ y $b$ tales que $4a^2 + 9b^2 - 1$ es divisible por $n$.

Sea $S$ un conjunto de 100 enteros. Suponga que para todos los enteros positivos $x$ e $y$ (posiblemente iguales) tales que $x + y$ está en $S$, ya sea $x$ o $y$ (o ambos) está en $S$. Demuestre que la suma de los números en $S$ es a lo sumo 10,000.

Un punto reticular es un punto en el plano cuyas dos coordenadas son ambas enteros. Una línea reticular es una línea en el plano que contiene al menos dos puntos reticulares. ¿Es posible colorear cada punto reticular de rojo o azul de tal manera que cada línea reticular contenga exactamente 2017 puntos reticulares rojos? Demuestre que su respuesta es correcta.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico tal que $\angle BAD \le \angle ADC$. Demuestre que $AC + CD \le AB + BD$.

Sea $n$ un entero positivo. Demuestre que existen polinomios $P$ y $Q$ con coeficientes reales tales que para todo número real $x$, tenemos $P(x) \ge 0$, $Q(x) \ge 0$, y\n\[ 1 - x^n = (1 - x)P(x) + (1 + x)Q(x).\n\]

Dados los enteros positivos $n$ y $k$, decimos que $n$ es $k$-resoluble si existen enteros positivos $a_1, a_2, ..., a_k$ (no necesariamente distintos) tales que\n\[ \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_k} = 1\n\]\ny\n\[ a_1 + a_2 + \cdots + a_k = n.\n\]\nDemuestre que si $n$ es $k$-resoluble, entonces $42n + 12$ es $(k + 3)$-resoluble.