Sea $n$ un número natural. Supón que $A$ y $B$ son dos conjuntos, cada uno conteniendo $n$ puntos en el plano, tales que no hay tres puntos de un conjunto que sean colineales. Sea $T(A)$ el número de líneas quebradas, cada una conteniendo $n-1$ segmentos, y tales que no se intersecta a sí misma y sus vértices son puntos de $A$ . Define $T(B)$ similarmente. Si los puntos de $B$ son vértices de un $n$ -ágono convexo (están en posición convexa ), pero los puntos de $A$ no lo están, demuestra que $T(B)<T(A)$ .

Supón que $p$ es un número primo impar. Llamamos al polinomio $f(x)=\sum_{j=0}^n a_jx^j$ con coeficientes enteros $i$ - residuo si $ \sum_{p-1|j,j>0}a_{j}\equiv i\pmod{p}$ . Demuestra que el conjunto $\{f(0),f(1),...,f(p-1)\}$ es un sistema completo de residuos módulo $p$ si y sólo si los polinomios $f(x), (f(x))^2,...,(f(x))^{p-2}$ son $0$ - residuo y el polinomio $(f(x))^{p-1}$ es $1$ - residuo.

Encontrar todos los números enteros $x$ e $y$ tales que:\n\[(y^3+xy-1)(x^2+x-y)=(x^3-xy+1)(y^2+x-y).\]

¿Existen $2000$ números reales (no necesariamente distintos) tales que no todos son cero y si ponemos cualquier grupo conteniendo $1000$ de ellos como las raíces de un polinomio mónico de grado $1000$ , los coeficientes del polinomio resultante (excepto el coeficiente de $x^{1000}$ ) son una permutación de los $1000$ números restantes?

Considera un $2^k$ -ágono regular con centro $O$ y etiqueta sus lados en sentido horario por $l_1,l_2,...,l_{2^k}$ . Refleja $O$ con respecto a $l_1$ , luego refleja el punto resultante con respecto a $l_2$ y haz este proceso hasta el último lado. Demuestra que la distancia entre el punto final y $O$ es menor que el perímetro del $2^k$ -ágono.

Llamamos a un subconjunto $B$ de números naturales leal si existen números naturales $i\le j$ tales que $B=\{i,i+1,\ldots,j\}$ . Sea $Q$ el conjunto de todos los conjuntos leales. Para cada subconjunto $A=\{a_1<a_2<\ldots<a_k\}$ de $\{1,2,\ldots,n\}$ definimos\n\[f(A)=\max_{1\le i \le k-1}{a_{i+1}-a_i}\qquad\text{y}\qquad g(A)=\max_{B\subseteq A, B\in Q} |B|.\]\nAdemás, definimos\n\[F(n)=\sum_{A\subseteq \{1,2,\ldots,n\}} f(A)\qquad\text{y}\qquad G(n)=\sum_{A\subseteq \{1,2,\ldots,n\}} g(A).\]\nDemuestra que existe $m\in \mathbb N$ tal que para cada número natural $n>m$ tenemos $F(n)>G(n)$ . (Por $|A|$ nos referimos al número de elementos de $A$ , y si $|A|\le 1$ , definimos $f(A)$ como cero).

Los puntos $A$ y $B$ están en un círculo $\omega$ con centro $O$ tal que $\tfrac{\pi}{3}< \angle AOB <\tfrac{2\pi}{3}$ . Sea $C$ el circuncentro del triángulo $AOB$ . Sea $l$ una línea que pasa por $C$ tal que el ángulo entre $l$ y el segmento $OC$ es $\tfrac{\pi}{3}$ . $l$ corta a las tangentes en $A$ y $B$ a $\omega$ en $M$ y $N$ respectivamente. Supón que las circunferencias circunscritas de los triángulos $CAM$ y $CBN$ , cortan a $\omega$ de nuevo en $Q$ y $R$ respectivamente y a sí mismas en $P$ (distinto de $C$ ) . Demuestra que $OP\perp QR$ .

Para reales positivos $a,b$ y $c$ con $ab+bc+ca=1$ , muestra que\n\[\sqrt{3}({\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\le \frac{a\sqrt{a}}{bc}+\frac{b\sqrt{b}}{ca}+\frac{c\sqrt{c}}{ab}.}\]

Supón que $ABCD$ es un paralelogramo. Considera los círculos $w_1$ y $w_2$ tales que $w_1$ es tangente a los segmentos $AB$ y $AD$ y $w_2$ es tangente a los segmentos $BC$ y $CD$ . Supón que existe un círculo que es tangente a las líneas $AD$ y $DC$ y externamente tangente a $w_1$ y $w_2$ . Demuestra que existe un círculo que es tangente a las líneas $AB$ y $BC$ y también externamente tangente a los círculos $w_1$ y $w_2$ .

Sea $g(x)$ un polinomio de grado al menos $2$ con todos sus coeficientes positivos. Encontrar todas las funciones $f:\mathbb R^+ \longrightarrow \mathbb R^+$ tales que\n\[f(f(x)+g(x)+2y)=f(x)+g(x)+2f(y) \quad \forall x,y\in \mathbb R^+.\]