Demuestra que si $ z_1,z_2\in\mathbb{C}^* $ satisfacen la relación: $$ z_1\cdot 2^{\big| z_1\big|} +z_2\cdot 2^{\big| z_2\big|} =\left( z_1+z_2\right)\cdot 2^{\big| z_1 +z_2\big|} , $$ entonces $ z_1^6=z_2^6 $

Sea $ \left( x_n\right)_{n\ge 1} $ una secuencia que tiene $ x_1=3 $ y se define como $ x_{n+1} =\left\lfloor \sqrt 2x_n\right\rfloor , $ para cada número natural $ n. $ Encuentra todos los valores $ m $ para los cuales los términos $ x_m,x_{m+1},x_{m+2} $ están en progresión aritmética, donde $ \lfloor\rfloor $ denota la parte entera.

Sea $ I $ el centro del incírculo de un triángulo $ ABC. $ Demuestra que, si para cualquier punto $ M $ en el segmento $ AB $ (extremos excluidos) existen dos puntos $ N,P $ en $ BC, $ respectivamente, $ AC $ (ambos excluyendo los extremos) tal que el centro de masa de $ MNP $ coincide con $ I, $ entonces $ ABC $ es equilátero.

Sea un número natural $ n\ge 2 $ y una expresión de $ n $ variables $$ E\left( x_1,x_2,...,x_n\right) =x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2-x_1x_2-x_2x_3-\cdots -x_{n-1}x_n -x_nx_1. $$ Determina $ \sup_{x_1,...,x_n\in [0,1]} E\left( x_1,x_2,...,x_n\right) $ y los valores específicos en los que se alcanza este supremo.

Sean $ A,B $ dos puntos en un plano y sean dos números $ a,b\in (0,1) . $ Para cada punto $ M $ que no está en la línea $ AB $ considera $ P $ en el segmento $ AM $ y $ N $ en $ BM $ (ambos excluyendo los extremos) tal que $ BN=b\cdot BM $ y $ AP=a\cdot AM. $ Encuentra el lugar geométrico de los puntos $ M $ para los cuales $ AN=BP. $

Sean dos primos naturales $ 1\le q \le p. $ Demuestra que $ \left( \sqrt{p^2+q} +p\right)^2 $ es irracional y su parte fraccionaria supera $ 3/4. $

En el paralelepípedo rectangular $ABCDA'B'C'D'$, los puntos $E$ y $F$ son los centros de las caras $ABCD$ y $ADD' A'$, respectivamente, y los planos $(BCF)$ y $(B'C'E)$ son perpendiculares. Sea $A'M \perp B'A$, $M \in B'A$ y $BN \perp B'C$, $N \in B'C$ . Denota $n = \frac{C'D}{BN}$ . a) Muestra que $n \ge \sqrt2$ . b) Expresa en términos de $n$, la razón entre el volumen del tetraedro $BB'M N$ y el volumen del paralelepípedo $ABCDA'B'C'D'$.

Sea $SABC$ la pirámide donde $ m(\angle ASB) = m(\angle BSC) = m(\angle CSA) = 90^o$ . Muestra que, cualquiera que sea el punto $M \in AS$ y cualquiera que sea el punto $N \in BC$, se cumple la relación $$\frac{1}{MN^2} \le \frac{1}{SB^2} + \frac{1}{SC^2}.$$

Los números reales negativos $x, y, z, t$ satisfacen simultáneamente las igualdades, $$x + y + z = t, \,\,\,\,\frac{1}{x}+ \frac{1}{y}+\frac{1}{z}= \frac{1}{t}, \,\,\,\, x^3 + y^3 + z^3 = 1000^3$$ Calcula $x + y + z + t$.

a) Demuestra que el número $(2k + 1)^3 - (2k - 1)^3$, $k \in Z$, es la suma de tres cuadrados perfectos. b) Representa el número $(2n + 1)^3 -2$, $n \in N^*$, como la suma de $3n- 1$ cuadrados perfectos mayores que $1$.