Demuestra que un anillo finito no trivial no es un cuerpo oblicuo si y solo si la ecuación $ x^n+y^n=z^n $ tiene soluciones no triviales en este anillo para cualquier número natural $ n. $

Decimos que el grupo abeliano $ G $ tiene la propiedad (P) si, para cualquier grupo conmutativo $ H, $ cualquier $ H’\le H $ y cualquier momomorfismo $ \mu’:H\longrightarrow G, $ existe un morfismo $ \mu :H\longrightarrow G $ tal que $ \mu\bigg|_{H’} =\mu’ . $ Muestra que: a) el grupo $ \left( \mathbb{Q}^*,\cdot \right) $ no tiene la propiedad (P). b) el grupo $ \left( \mathbb{Q}, +\right) $ tiene la propiedad (P).

Para cualquier partición $ P $ de $ [0,1] $ , considera el conjunto $$ \mathcal{A}(P)=\left\{ f:[0,1]\longrightarrow\mathbb{R}\left| \exists f’\bigg|_{[0,1]}\right.\wedge\int_0^1 |f(x)|dx =1\wedge \left( y\in P\implies f (y ) =0\right)\right\} . $$ Demuestra que existe una partición $ P_0 $ de $ [0,1] $ tal que $$ g\in \mathcal{A}\left( P_0\right)\implies \sup_{x\in [0,1]} \big| g’(x)\big| >4\cdot \# P. $$ Aquí, $ \# D $ denota el número natural $ d $ tal que $ 0=x_0<x_1<\cdots <x_d=1 $ es una partición $ D $ de $ [0,1] . $

Sea $ a\in (1,\infty) $ y una función continua $ f:[0,\infty)\longrightarrow\mathbb{R} $ que tiene la propiedad: $$ \lim_{x\to \infty} xf(x)\in\mathbb{R} . $$ a) Demuestra que la integral $ \int_1^{\infty} \frac{f(x)}{x}dx $ y el límite $ \lim_{t\to\infty} t\int_{1}^a f\left( x^t \right) dx $ ambos existen, son finitos e iguales. b) Calcula $ \lim_{t\to \infty} t\int_1^a \frac{dx}{1+x^t} . $

Sea $ f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} $ una función que satisface las condiciones: $ \text{(i)}\quad \lim_{x\to\infty} (f\circ f) (x) =\infty =-\lim_{x\to -\infty} (f\circ f) (x) $ $ \text{(ii)}\quad f $ tiene la propiedad de Darboux a) Demuestra que los límites de $ f $ en $ \pm\infty $ existen. b) ¿Es posible que los límites de a) sean finitos?

Una función $ f:\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R} $ es olímpica si, cualquier número finito de elementos distintos por pares de $ \mathbb{R}^2 $ en los que la función toma el mismo valor representan en el plano los vértices de un polígono convexo. Demuestra que si $ p $ si un polinomio complejo de grado al menos $ 1, $ entonces la función $ \mathbb{R}^2\ni (x,y)\mapsto |p(x+iy)| $ es olímpica si y solo si las raíces de $ p $ son todas iguales.

Estudia la convergencia de una secuencia $ \left( x_n\right)_{n\ge 0} $ para la cual $ x_0\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} , $ y $ x_{n+1}\in \left\{ \frac{x_n+1}{x_n} , \frac{x_n+2}{2x_n-1}\right\} , $ para todo $ n\ge 1. $

Sea $ \mathcal{M} =\left\{ A\in M_2\left( \mathbb{C}\right)\big| \det\left( A-zI_2\right) =0\implies |z| < 1\right\} . $ Demuestra que: $$ X,Y\in\mathcal{M}\wedge X\cdot Y=Y\cdot X\implies X\cdot Y\in\mathcal{M} . $$

Sea $ f $ un polinomio de grado $ 3 $ y que tiene coeficientes racionales. Demuestra que, si existen dos números racionales no nulos distintos $ a,b $ y dos raíces $ x,y $ de $ f $ tales que $ ax+by $ es racional, entonces todas las raíces de $ f $ son racionales.

Sea un tetaedro $ ABCD, $ y $ E $ la proyección de $ D $ en el plano formado por $ ABC. $ Si $ \mathcal{A}_{\mathcal{R}} $ denota el área de la región $ \mathcal{R}, $ muestra que las siguientes afirmaciones son equivalentes: a) $ C=E\vee CE\parallel AB $ b) $ M\in\overline{CD}\implies\mathcal{A}_{ABM}^2=\frac{CM^2}{CD^2}\cdot\mathcal{A}_{ABD}^2 +\left( 1-\frac{CM^2}{CD^2}\right)\cdot\mathcal{A}_{ABC}^2 $