Sean $m,n$ números naturales tales que $\hspace{2cm} m+3n-5=2LCM(m,n)-11GCD(m,n).$ Halla el valor máximo posible de $m+n$

Para un entero positivo $n>1$ , sea $g(n)$ denota el divisor positivo propio más grande de $n$ y $f(n)=n-g(n)$ . Por ejemplo, $g(10)=5, f(10)=5$ y $g(13)=1,f(13)=12$ . Sea $N$ el entero positivo más pequeño tal que $f(f(f(N)))=97$ . Halla el entero más grande que no exceda $\sqrt{N}$

Sean $a,b,c$ reales que satisfacen $\hspace{2cm} 3ab+2=6b, \hspace{0.5cm} 3bc+2=5c, \hspace{0.5cm} 3ca+2=4a.$ Sea $\mathbb{Q}$ denota el conjunto de todos los números racionales. Dado que el producto $abc$ puede tomar dos valores $\frac{r}{s}\in \mathbb{Q}$ y $\frac{t}{u}\in \mathbb{Q}$ , en su forma más simple, halla $r+s+t+u$

Sean $x,y$ números reales tales que $xy=1$ . Sean $T$ y $t$ los valores más grandes y más pequeños de la expresión $\hspace{2cm} \frac{(x+y)^2-(x-y)-2}{(x+y)^2+(x-y)-2}$ . Si $T+t$ puede ser expresado en la forma $\frac{m}{n}$ donde $m,n$ son enteros no nulos con $GCD(m,n)=1$ , halla el valor de $m+n$

Sean $x,y,z$ números complejos tales que $\hspace{ 2cm} \frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=9$ $\hspace{ 2cm} \frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}=64$ $\hspace{ 2cm} \frac{x^3}{y+z}+\frac{y^3}{z+x}+\frac{z^3}{x+y}=488$ Si $\frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}+\frac{z}{xy}=\frac{m}{n}$ donde $m,n$ son enteros positivos con $GCD(m,n)=1$ , halla $m+n$ .

Sea $ABC$ un triángulo y sea $D$ un punto en el segmento $BC$ tal que $AD=BC$ . Suponga que $\angle{CAD}=x^{\circ}, \angle{ABC}=y^{\circ}$ y $\angle{ACB}=z^{\circ}$ y $x,y,z$ están en una progresión aritmética en ese orden donde el primer término y la diferencia común son enteros positivos. Halla el mayor valor posible de $\angle{ABC}$ en grados.

Dado $\triangle{ABC}$ con $\angle{B}=60^{\circ}$ y $\angle{C}=30^{\circ}$ , sean $P,Q,R$ puntos en los lados $BA,AC,CB$ respectivamente tales que $BPQR$ es un trapecio isósceles con $PQ \parallel BR$ y $BP=QR$ . Halla el máximo valor posible de $\frac{2[ABC]}{[BPQR]}$ donde $[S]$ denota el área de cualquier polígono $S$

Sea $AB$ el diámetro de un círculo $\omega$ y sea $C$ un punto en $\omega$, diferente de $A$ y $B$ . La perpendicular desde $C$ intersecta a $AB$ en $D$ y a $\omega$ en $E(\neq C)$ . El círculo con centro en $C$ y radio $CD$ intersecta a $\omega$ en $P$ y $Q$ . Si el perímetro del triángulo $PEQ$ es $24$, halla la longitud del lado $PQ$

Considera el número de $10$ dígitos $M=9876543210$ . Obtenemos un nuevo número de $10$ dígitos de $M$ de acuerdo a la siguiente regla: podemos escoger uno o más pares disjuntos de dígitos adyacentes en $M$ e intercambiar los dígitos en estos pares escogidos, manteniendo los dígitos restantes en sus propios lugares. Por ejemplo, de $M=9\underline{87}6 \underline{54} 3210$ al intercambiar los $2$ pares subrayados, y manteniendo los otros en sus lugares, obtenemos $M_{1}=9786453210$ . Nota que cualquier número de (disjuntos) pares puede ser intercambiado. Halla el número de nuevos números que pueden ser obtenidos de $M$

Dos lados de un triángulo de lados enteros tienen longitudes $18$ y $x$ . Si hay exactamente $35$ posibles enteros $y$ tales que $18,x,y$ son los lados de un triángulo no degenerado, halla el número de posibles valores enteros que $x$ puede tener.