Encuentra el entero positivo más grande $n <30$ tal que $\frac{1}{2}(n^8 + 3n^4 -4)$ no es divisible por el cuadrado de ningún número primo.

En un triángulo $ABC$, un punto $P$ en el interior de $ABC$ es tal que $$ \angle BPC - \angle BAC = \angle CPA - \angle CBA = \angle APB - \angle ACB.$$ Suponga $\angle BAC = 30^{\circ}$ y $AP = 12$. Sean $D,E,F$ los pies de las perpendiculares desde $P$ sobre $BC,CA,AB$ respectivamente. Si $m \sqrt{n}$ es el área del triángulo DEF donde $m,n$ son enteros con $n$ primo, entonces ¿cuál es el valor del producto $mn$?

La suma de $\lfloor x \rfloor$ para todos los números reales $x$ que satisfacen la ecuación $16 + 15x + 15x^2 = \lfloor x \rfloor ^3$ es:

Un conjunto finito $M$ de enteros positivos consiste en cuadrados perfectos distintos y el número $92$. El promedio de los números en $M$ es $85$. Si eliminamos $92$ de $M$, el promedio disminuye a $84$. Si $N^2$ es el cuadrado más grande posible en $M$, ¿cuál es el valor de $N$?

Considera el conjunto $F$ de todos los polinomios cuyos coeficientes están en el conjunto de $\{0,1\}$. Sea $q(x) = x^3 + x +1$. El número de polinomios $p(x)$ en $F$ de grado $14$ tal que el producto $p(x)q(x)$ también está en $F$ es:

Considera los catorce números, $1^4,2^4,...,14^4$. El número natural más pequeño $n$ tal que dejan restos distintos cuando se dividen por $n$ es:

En un triángulo $ABC$, $\angle BAC = 90^{\circ}$. Sea $D$ el punto en $BC$ tal que $AB + BD = AC + CD$. Suponga $BD : DC = 2:1$. Si $\frac{AC}{AB} = \frac{m + \sqrt{p}}{n}$, Donde $m,n$ son enteros positivos relativamente primos y $p$ es un número primo, determine el valor de $m+n+p$.

Un entero $n$ tal que $\Bigl\lfloor \frac{n}{9} \Bigr\rfloor$ es un número de tres dígitos con dígitos iguales, y $\Bigl\lfloor \frac{n-172}{4} \Bigr\rfloor$ es un número de $4$ dígitos con los dígitos $2,0,2,4$ en algún orden. ¿Cuál es el residuo cuando $n$ se divide por $100$?

En un número natural $n$ se le permite realizar las operaciones : $(1)$ multiplicar $n$ por $2$ o $(2)$ restar $3$ de $n$. Por ejemplo, comenzando con $8$ se puede llegar a $13$ como sigue : $8 \longrightarrow 16 \longrightarrow 13$. Necesita dos pasos y no se puede hacer en menos de dos pasos. Comenzando desde $11$, ¿cuál es el número mínimo de pasos necesarios para llegar a $121$?

Considera cinco puntos en el plano, sin tres de ellos colineales. Cada par de puntos entre ellos está unido por una línea. ¿De cuántas maneras podemos colorear estas líneas de rojo o azul, de modo que no tres de los puntos forman un triángulo con líneas del mismo color?