En un triángulo acutángulo $ABC$ , los puntos $D$ y $E$ se encuentran en el lado $BC$ con $BD<BE$ . Sean $O_1, O_2, O_3, O_4, O_5, O_6$ los circuncentros de los triángulos $ABD, ADE, AEC, ABE, ADC, ABC$ , respectivamente. Demuestra que $O_1, O_3, O_4, O_5$ son concíclicos si y solo si $A, O_2, O_6$ son colineales.

Suponga que se eligen 51 números de 1, 2, 3, ..., 99, 100. Demuestre que hay dos tales que uno divide al otro.

Escriba 11 números en una hoja de papel: seis ceros y cinco unos. Realice la siguiente operación 10 veces: tache dos números cualesquiera, y si eran iguales, escriba otro cero en el tablero. Si no eran iguales, escriba un uno. Demuestre que no importa qué números se elijan en cada paso, el número final en el tablero será un uno.

Sea N = {1, 2, . . . , n} un conjunto de elementos llamados votantes. Sea C = {S : S $\subseteq$ N} el conjunto potencia de N. Los miembros de C se llaman coaliciones. Sea f una función de C a {0, 1}. Se dice que una coalición S $\subseteq$ N es ganadora si f(S) = 1; se dice que es perdedora si f(S) = 0. Tal función se llama juego de votación si se cumplen las siguientes condiciones: (a) N es una coalición ganadora. (b) El conjunto vacío $\Phi$ es una coalición perdedora. (c) Si S es una coalición ganadora y S $\subseteq$ S' también es ganadora. (d) Si tanto S como S' son ganadoras, entonces S $\cap$ S' $\neq$ $\Phi$ , es decir, S y S' tienen un votante en común. Demuestre que el número máximo de coaliciones ganadoras de un juego de votación es $2^{n-1}$ . También encuentre tal juego de votación.

Una función f : $R$ $\rightarrow$ $R$ satisface la propiedad $f(x^2) - f^2(x) \geq 1/4$ para todo x. Verifique si la función es uno a uno.

La Figura 1 muestra un mapa de carreteras que conecta 14 ciudades. ¿Existe un camino que pase por cada ciudad exactamente una vez?

Hay 1000 puertas $D_1, D_2, . . . , D_{1000}$ y 1000 personas $P_1, P_2, . . . , P_{1000}$ . Inicialmente todas las puertas estaban cerradas. La persona $P_1$ va y abre todas las puertas. Luego la persona $P_2$ cierra la puerta $D_2, D_4, . . . , D_{1000}$ y deja las puertas numeradas impares abiertas. Luego $P_3$ cambia el estado de cada tercera puerta, es decir, $D_3, D_6, . . . , D_{999}$ . (Por ejemplo, $P_3$ cierra la puerta abierta $D_3$ y abre la puerta cerrada D6, y así sucesivamente). Del mismo modo, $P_m$ cambia el estado de las puertas $D_m, D_{2m}, D_{3m}, . . . , D_{nm}, . . .$ dejando las otras puertas intactas. Finalmente, $P_{1000}$ abre $D_{1000}$ si estaba cerrada o la cierra si estaba abierta. Al final, ¿cuántas puertas permanecerán abiertas?

Encuentra cuántos comités con un presidente se pueden elegir de un conjunto de n personas. Por lo tanto, o de otra manera, pruebe que $${n \choose 1} + 2{n \choose 2} + 3{n \choose 3} + ...... + n{n \choose n} = n2^{n-1}$$

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con $\angle B = 90^{\circ}$. Sea la longitud de la altitud $BD$ igual a $12$. ¿Cuál es la longitud mínima posible de $AC$, dado que $AC$ y el perímetro del triángulo $ABC$ son enteros?

Sea $n = 2^{19}3^{12}$. Sea $M$ denote el número de divisores positivos de $n^2$ que son menores que $n$ pero no dividirían a $n$. ¿Cuál es el número formado al tomar los dos últimos dígitos de $M$ (en el mismo orden)?