En el triángulo $ABC$ sean $B'$ y $C'$ los puntos medios de los lados $AC$ y $AB$ respectivamente y $H$ el pie de la altura que pasa por el vértice $A$ . Demostrar que las circunferencias circunscritas de los triángulos $AB'C'$ , $BC'H$ , y $B'CH$ tienen un punto común $I$ y que la recta $HI$ pasa por el punto medio del segmento $B'C'.$

En el triángulo $ABC$ sean $B'$ y $C'$ los puntos medios de los lados $AC$ y $AB$ respectivamente y $H$ el pie de la altura que pasa por el vértice $A$ . Demostrar que las circunferencias circunscritas de los triángulos $AB'C'$ , $BC'H$ , y $B'CH$ tienen un punto común $I$ y que la recta $HI$ pasa por el punto medio del segmento $B'C'.$

Sea $M$ un punto interior del tetraedro $ABCD$ . Demostrar que \[ \begin{array}{c}\ \stackrel{\longrightarrow }{MA} \text{vol}(MBCD) +\stackrel{\longrightarrow }{MB} \text{vol}(MACD) +\stackrel{\longrightarrow }{MC} \text{vol}(MABD) + \stackrel{\longrightarrow }{MD} \text{vol}(MABC) = 0 \end{array}\] ( $\text{vol}(PQRS)$ denota el volumen del tetraedro $PQRS$ ) .

Sea $1<n\in\mathbb{N}$ y $1\le a\in\mathbb{R}$ y hay $n$ números $x_i, i\in\mathbb{N}, 1\le i\le n$ tales que $x_1=1$ y $\frac{x_{i}}{x_{i-1}}=a+\alpha _ i$ para $2\le i\le n$ , donde $\alpha _i\le \frac{1}{i(i+1)}$ . Demostrar que $\sqrt[n-1]{x_n}< a+\frac{1}{n-1}$ .

Encontrar todos los enteros positivos $n$ tales que el conjunto ${n,n+1,n+2,n+3,n+4,n+5}$ pueda ser dividido en dos subconjuntos de forma que el producto de los números en cada subconjunto sea igual.

En el tetraedro $ABCD,\angle BDC=90^o$ y el pie de la perpendicular desde $D$ a $ABC$ es la intersección de las alturas de $ABC$. Demostrar que: \[ (AB+BC+CA)^2\le6(AD^2+BD^2+CD^2). \] ¿Cuándo tenemos igualdad?

Demostrar que la ecuación $\sqrt{2-x^2}+\sqrt[3]{3-x^3}=0$ no tiene raíces reales.

Dado $\triangle ABC$, sea $R$ su circunradio y $q$ el perímetro de su triángulo excentral. Pruebe que $q\le 6\sqrt{3} R$.

Sea $\alpha + \beta +\gamma = \pi$. Pruebe que $\sum_{cyc}{\sin 2\alpha} = 2\cdot \left(\sum_{cyc}{\sin \alpha}\right)\cdot\left(\sum_{cyc}{\cos \alpha}\right)- 2\sum_{cyc}{\sin \alpha}$.

Cada lado de un $\triangle ABC$ arbitrario se divide en partes iguales, y se dibujan líneas paralelas a $AB,BC,CA$ a través de cada uno de estos puntos, cortando así $\triangle ABC$ en pequeños triángulos. A los puntos se les asigna un número de la siguiente manera: $(1)$ A $A,B,C$ se les asigna $1,2,3$ respectivamente $(2)$ A los puntos en $AB$ se les asigna $1$ o $2$ $(3)$ A los puntos en $BC$ se les asigna $2$ o $3$ $(4)$ A los puntos en $CA$ se les asigna $3$ o $1$ Pruebe que debe existir un triángulo pequeño cuyos vértices estén marcados por $1,2,3$.