Sea $\{x_i\}, 1\le i\le 6$ un conjunto dado de seis enteros, ninguno de los cuales es divisible por $7$. $(a)$ Pruebe que al menos una de las expresiones de la forma $x_1\pm x_2\pm x_3\pm x_4\pm x_5\pm x_6$ es divisible por $7$, donde los signos $\pm$ son independientes entre sí. $(b)$ Generalice el resultado a todo número primo.

Sean $ABCD$ y $A'B'C'D'$ dos cuadrados arbitrarios en el plano que están orientados en la misma dirección. Pruebe que el cuadrilátero formado por los puntos medios de $AA',BB',CC',DD'$ es un cuadrado.

En $\triangle ABC$, demuestra que $1< \sum_{cyc}{\cos A}\le \frac{3}{2}$.

Para $n$ par, demuestra que $\sum_{i=1}^{n}{\left((-1)^{i+1}\cdot\frac{1}{i}\right)}=2\sum_{i=1}^{n/2}{\frac{1}{n+2i}}$.

Considera un $2n$ - gono regular y las $n$ diagonales que pasan por su centro. Sea $P$ un punto del círculo inscrito y sean $a_1, a_2, \ldots , a_n$ los ángulos en los que las diagonales mencionadas son visibles desde el punto $P$. Demuestra que \n\[\sum_{i=1}^n \tan^2 a_i = 2n \frac{\cos^2 \frac{\pi}{2n}}{\sin^4 \frac{\pi}{2n}}.\]

Sea $ABCD$ un cuadrilátero arbitrario. Se construyen cuadrados con centros $M_1, M_2, M_3, M_4$ en $AB,BC,CD,DA$ respectivamente, todos hacia afuera o todos hacia adentro. Demuestra que $M_1 M_3=M_2 M_4$ y $M_1 M_3\perp M_2 M_4$.

Hay una ecuación $\sum_{i=1}^{n}{\frac{b_i}{x-a_i}}=c$ en $x$, donde todos $b_i >0$ y $\{a_i\}$ es una secuencia estrictamente creciente. Demuestra que tiene $n-1$ raíces tal que $x_{n-1}\le a_n$, y $a_i \le x_i$ para cada $i\in\mathbb{N}, 1\le i\le n-1$.

Demostrar que $\sqrt[n]{\sum_{i=1}^{n}{\frac{i}{n+1}}}\ge 1$ para $2 \le n \in \mathbb{N}$ .

Resolver el sistema de ecuaciones para las variables $x,y$ , donde $\{a,b\}\in\mathbb{R}$ son constantes y $a\neq 0$ . \[x^2 + xy = a^2 + ab\] \[y^2 + xy = a^2 - ab\]

Demostrar que $(a!\cdot b!) | (a+b)!$ $\forall a,b\in\mathbb{N}$ .