Sea un ángulo agudo $\angle AOB = 3\alpha$ , donde $\overline{OA}= \overline{OB}$ . El punto $A$ es el centro de un círculo con radio $\overline{OA}$ . Una línea $s$ paralela a $OA$ pasa por $B$ . Dentro del ángulo dado se dibuja una línea variable $t$ que pasa por $O$ . Se encuentra con el círculo en $O$ y $C$ y con la línea dada $s$ en $D$ , donde $\angle AOC = x$ . Partiendo de una posición arbitrariamente elegida $t_0$ de $t$ , la serie $t_0, t_1, t_2, \ldots$ se determina definiendo $\overline{BD_{i+1}}=\overline{OC_i}$ para cada $i$ (en el que $C_i$ y $D_i$ denotan las posiciones de $C$ y $D$ , correspondientes a $t_i$ ) . Haciendo uso de las representaciones gráficas de $BD$ y $OC$ como funciones de $x$ , determine el comportamiento de $t_i$ para $i\to \infty$ .

Demuestre que para cualquier triángulo con lados $a, b, c$ y área $P$ se cumple la siguiente desigualdad: \[P \leq \frac{\sqrt 3}{4} (abc)^{2/3}.\] Encuentre todos los triángulos para los cuales se cumple la igualdad.

Sean $u_1, u_2, \ldots, u_n, v_1, v_2, \ldots, v_n$ números reales. Pruebe que \[1+ \sum_{i=1}^n (u_i+v_i)^2 \leq \frac 43 \Biggr( 1+ \sum_{i=1}^n u_i^2 \Biggl) \Biggr( 1+ \sum_{i=1}^n v_i^2 \Biggl) .\]

Pruebe que la ecuación $4^x +6^x =9^x$ no tiene soluciones racionales.

Un conjunto $G$ con elementos $u,v,w...$ es un Grupo si se cumplen las siguientes condiciones: $(\text{i})$ Hay una operación binaria $\circ$ definida en $G$ tal que $\forall \{u,v\}\in G$ existe un $w\in G$ con $u\circ v = w$ . $(\text{ii})$ Esta operación es asociativa; i.e. $(u\circ v)\circ w = u\circ (v\circ w)$ $\forall\{u,v,w\}\in G$ . $(\text{iii})$ $\forall \{u,v\}\in G$ , existe un elemento $x\in G$ tal que $u\circ x = v$ , y un elemento $y\in G$ tal que $y\circ u = v$ . Sea $K$ un conjunto de todos los números reales mayores que $1$ . En $K$ se define una operación por $ a\circ b = ab-\sqrt{(a^2-1)(b^2-1)}$ . Pruebe que $K$ es un Grupo.

Encuentre un $n\in\mathbb{N}$ tal que para todos los primos $p$ , $n$ es divisible por $p$ si y solo si $n$ es divisible por $p-1$ .

Considere un conjunto finito de vectores en el espacio $\{a_1, a_2, ... , a_n\}$ y el conjunto $E$ de todos los vectores de la forma $x=\sum_{i=1}^{n}{\lambda _i a_i}$ , donde $\lambda _i \in \mathbb{R}^{+}\cup \{0\}$ . Sea $F$ el conjunto que consta de todos los vectores en $E$ y los vectores paralelos a un plano dado $P$ . Pruebe que existe un conjunto de vectores $\{b_1, b_2, ... , b_p\}$ tal que $F$ es el conjunto de todos los vectores $y$ de la forma $y=\sum_{i=1}^{p}{\mu _i b_i}$ , donde $\mu _i \in \mathbb{R}^{+}\cup \{0\}$ .

Una función real $f$ está definida para $0\le x\le 1$ , con su primera derivada $f'$ definida para $0\le x\le 1$ y su segunda derivada $f''$ definida para $0<x<1$ . Demostrar que si $f(0)=f'(0)=f'(1)=f(1)-1 =0$ , entonces existe un número $0<y<1$ tal que $|f''(y)|\ge 4$ .

Sean $\{n,p\}\in\mathbb{N}\cup \{0\}$ tal que $2p\le n$ . Demostrar que $\frac{(n-p)!}{p!}\le \left(\frac{n+1}{2}\right)^{n-2p}$ . Determinar todas las condiciones bajo las cuales se cumple la igualdad.

Sea $E$ un conjunto finito, $P_E$ la familia de sus subconjuntos, y $f$ una función de $P_E$ al conjunto de los reales no negativos, tal que para cualesquiera dos subconjuntos disjuntos $A,B$ de $E$ , $f(A\cup B)=f(A)+f(B)$ . Demostrar que existe un subconjunto $F$ de $E$ tal que si con cada $A \subset E$ , asociamos un subconjunto $A'$ que consta de elementos de $A$ que no están en $F$ , entonces $f(A)=f(A')$ y $f(A)$ es cero si y sólo si $A$ es un subconjunto de $F$ .