Llamemos a una secuencia de enteros positivos $(a_n)_{n \ge 1}$ una 'secuencia CGMO' si $(a_n)_{n \ge 1}$ aumenta estrictamente, y para todos los enteros $n \ge 2022$ , $a_n$ es el entero más pequeño tal que existe un subconjunto no vacío de $\{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n-1} \}$ $A_n$ donde $a_n \cdot \prod\limits_{a \in A_n} a$ es un cuadrado perfecto. Demuestra: existen $c_1, c_2 \in \mathbb{R}^{+}$ s.t. para cualquier 'secuencia CGMO' $(a_n)_{n \ge 1}$ , existe un entero positivo $N$ que satisface cualquier $n \ge N$ , $c_1 \cdot n^2 \le a_n \le c_2 \cdot n^2$ .

Marque $4 \cdot k$ puntos en un círculo y numérelos arbitrariamente con números del $1$ al $4 \cdot k$ . Las cuerdas no pueden compartir puntos finales comunes, además, los puntos finales de estas cuerdas deben estar entre los $4 \cdot k$ puntos.\ni. Demuestre que se pueden dibujar $2 \cdot k$ cuerdas por pares no intersecantes para cada uno de los cuales sus puntos finales difieren en a lo sumo $3 \cdot k - 1$ .\nii. Demuestre que el $3 \cdot k - 1$ no se puede mejorar.

Sean $x_i,$ $1 \leq i \leq n$ números reales con $n \geq 3.$ Sean $p$ y $q$ su suma simétrica de grado $1$ y $2$ respectivamente. Demuestre que:\ni) $p^2 \cdot \frac{n-1}{n}-2q \geq 0$\nii) $\left|x_i - \frac{p}{n}\right| \leq \sqrt{p^2 - \frac{2nq}{n-1}} \cdot \frac{n-1}{n}$ para cada $i$ significativo.

Dado un tetraedro $ABCD$ , $E$ , $F$ , $G$ , están respectivamente en los segmentos $AB$ , $AC$ y $AD$ . Demuestre que:\ni) area $EFG \leq$ max{area $ABC$ , area $ABD$ , area $ACD$ , area $BCD$ } .\nii) Lo mismo que arriba reemplazando 'área' por 'perímetro'.

Dado un cuadrado $ABCD$ cuya longitud lateral es $1$ , $P$ y $Q$ son puntos en los lados $AB$ y $AD$ . Si el perímetro de $APQ$ es $2$ , encuentre el ángulo $PCQ$ .

Para enteros positivos $a,b,c$ sean $ \alpha, \beta, \gamma$ enteros positivos distintos por pares tales que \[ \begin{cases}{c} \displaystyle a &= \alpha + \beta + \gamma, \\ b &= \alpha \cdot \beta + \beta \cdot \gamma + \gamma \cdot \alpha, \\ c^2 &= \alpha\beta\gamma. \end{cases} \] Además, sea $ \lambda$ un número real que satisface la condición \n\[\lambda^4 -2a\lambda^2 + 8c\lambda + a^2 - 4b = 0.\]\nDemuestra que $\lambda$ es un entero si y sólo si $\alpha, \beta, \gamma$ son todos cuadrados perfectos.

¿Existen $ 2002$ enteros positivos distintos $ k_1, k_2, \cdots k_{2002}$ tales que para cualquier entero positivo $ n \geq 2001$ , uno de $ k_12^n + 1, k_22^n + 1, \cdots, k_{2002}2^n + 1$ es primo?

$ A$ es un conjunto de puntos en el plano, $ L$ es una línea en el mismo plano. Si $ L$ pasa a través de uno de los puntos en $ A$ , entonces llamamos a eso $ L$ pasa a través de $ A$ . (1) Demuestra que podemos dividir todos los puntos racionales en $ 100$ conjuntos de puntos sin intersección por pares con elementos infinitos. Si para cualquier línea en el plano, hay dos puntos racionales en ella, entonces pasa por los $ 100$ conjuntos. (2) Encuentra el mayor entero $ r$ , para que si dividimos todos los puntos racionales en el plano en $ 100$ conjuntos de puntos sin intersección por pares con elementos infinitos con cualquier método, entonces hay al menos una línea que pasa por $ r$ conjuntos de los $ 100$ conjuntos de puntos.

Dado un entero positivo $ m \geq 17$ , $ 2m$ participantes participan en una competencia circular. En cada ronda, dividimos los $ 2m$ participantes en $ m$ grupos, y los dos participantes en un grupo juegan uno contra el otro. Los grupos se vuelven a dividir en la siguiente ronda. Los participantes compiten durante $ 2m-1$ rondas para que cada participante haya jugado un juego con todos los $ 2m-1$ jugadores. Encuentra el entero positivo más pequeño posible $ n$ , para que exista una competencia válida y después de $ n$ rondas, para cualquier $ 4$ participantes, ninguno de ellos haya jugado con los demás o se hayan jugado al menos $ 2$ juegos dentro de esos $ 4$ .

Encuentra todos los enteros no negativos $m$ y $n$ , tales que $(2^n-1) \cdot (3^n-1)=m^2$ .