Sea $ n$ un entero positivo. Encuentre el número de coeficientes impares del polinomio \[ u_n(x) = (x^2 + x + 1)^n.\]

Sea $\left[\sqrt{(n+1)^2 + n^2} \right], n = 1,2, \ldots,$ donde $[x]$ denota la parte entera de $x.$ Pruebe que i.) hay infinitos enteros positivos $m$ tales que $a_{m+1} - a_m > 1;$ ii.) hay infinitos enteros positivos $m$ tales que $a_{m+1} - a_m = 1.$

Una secuencia de enteros se define por \[{ a_n = 2 a_{n-1} + a_{n-2}}, \quad (n > 1), \quad a_0 = 0, a_1 = 1.\]. Pruebe que $2^k$ divide a $a_n$ si y solo si $2^k$ divide a $n$.

Determine todas las cuádruples $(x,y,z,t)$ de enteros positivos tales que \[ 20^x + 14^{2y} = (x + 2y + z)^{zt}.\]

Un conjunto finito de enteros positivos $A$ se llama meanly si para cada uno de sus subconjuntos no vacíos la media aritmética de sus elementos es también un entero positivo. En otras palabras, $A$ es meanly si $\frac{1}{k}(a_1 + \dots + a_k)$ es un entero siempre que $k \ge 1$ y $a_1, \dots, a_k \in A$ sean distintos. Dado un entero positivo $n$, determine la suma mínima posible de los elementos de un conjunto meanly de $n$ elementos.

Sea el incírculo $k$ del triángulo $ABC$ que toca su lado $BC$ en $D$. Sea la línea $AD$ que interseca a $k$ en $L \neq D$ y denote el excentro de $ABC$ opuesto a $A$ por $K$. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $BC$ y $KM$ respectivamente. Demuestre que los puntos $B, C, N,$ y $L$ son concíclicos.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB < AC$. Su incírculo con centro $I$ toca los lados $BC, CA,$ y $AB$ en los puntos $D, E,$ y $F$ respectivamente. La bisectriz del ángulo $AI$ interseca las líneas $DE$ y $DF$ en los puntos $X$ e $Y$ respectivamente. Sea $Z$ el pie de la altura a través de $A$ con respecto a $BC$. Demuestre que $D$ es el incentro del triángulo $XYZ$.

En Happy City hay $2014$ ciudadanos llamados $A_1, A_2, \dots , A_{2014}$. Cada uno de ellos es feliz o infeliz en cualquier momento. El estado de ánimo de cualquier ciudadano $A$ cambia (de ser infeliz a ser feliz o viceversa) si y solo si algún otro ciudadano feliz sonríe a $A$. El lunes por la mañana había $N$ ciudadanos felices en la ciudad. Lo siguiente sucedió el lunes durante el día: el ciudadano $A_1$ sonrió al ciudadano $A_2$, luego $A_2$ sonrió a $A_3$, etc., y, finalmente, $A_{2013}$ sonrió a $A_{2014}$. Nadie sonrió a nadie más aparte de esto. Exactamente lo mismo se repitió el martes, miércoles y jueves. Había exactamente $2000$ ciudadanos felices el jueves por la noche. Determine el valor máximo posible de $N$.

Sean $K$ y $L$ enteros positivos. En un tablero que consta de $2K \times 2L$ cuadrados unitarios, una hormiga comienza en el cuadrado de la esquina inferior izquierda y camina hacia el cuadrado de la esquina superior derecha. En cada paso, va horizontal o verticalmente a un cuadrado vecino. Nunca visita un cuadrado dos veces. Al final, algunos cuadrados pueden permanecer sin visitar. En algunos casos, la colección de todos los cuadrados no visitados forma un solo rectángulo. En tales casos, llamamos a este rectángulo MEMOrable. Determine el número de diferentes rectángulos MEMOrables. Observación: Los rectángulos son diferentes a menos que consten exactamente de los mismos cuadrados.

Determine todas las funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que \[ xf(xy) + xyf(x) \ge f(x^2)f(y) + x^2y \] se cumple para todo $x,y \in \mathbb{R}$.