Demostrar que el intervalo $\lbrack 0,1 \rbrack$ puede dividirse en intervalos blancos y negros para cualquier polinomio cuadrático $P(x)$ , de forma que la suma de los pesos de los intervalos negros sea igual a la suma de los pesos de los intervalos blancos. (Definir el peso del intervalo $\lbrack a,b \rbrack$ como $P(b) - P(a)$ .) ¿Se cumple el mismo resultado con un polinomio de grado 3 o de grado 5?

$A$ y $B$ juegan el siguiente juego con un polinomio de grado al menos 4: \[ x^{2n} + \_x^{2n - 1} + \_x^{2n - 2} + \ldots + \_x + 1 = 0 \]\n$A$ y $B$ se turnan para rellenar uno de los espacios en blanco con un número real hasta que todos los espacios en blanco estén llenos. Si el polinomio resultante no tiene raíces reales, $A$ gana. De lo contrario, $B$ gana. Si $A$ comienza, ¿qué jugador tiene una estrategia ganadora?

Sea $S = \lbrace A = (a_1, \ldots, a_s) \mid a_i = 0$ o $1, i = 1, \ldots, 8 \rbrace$ . Para cualesquiera 2 elementos de $S$ , $A = \lbrace a_1, \ldots, a_8\rbrace$ y $B = \lbrace b_1, \ldots, b_8\rbrace$ . Sea $d(A,B) = \sum_{i=1}{8} |a_i - b_i|$ . Llamar a $d(A,B)$ la distancia entre $A$ y $B$ . ¿Como máximo cuántos elementos puede tener $S$ tal que la distancia entre dos conjuntos cualesquiera sea al menos 5?

Para cualquier $h = 2^{r}$ ($r$ es un entero no negativo), encontrar todos los $k \in \mathbb{N}$ que satisfagan la siguiente condición: Existe un número natural impar $m > 1$ y $n \in \mathbb{N}$, tal que $k \mid m^{h} - 1, m \mid n^{\frac{m^{h}-1}{k}} + 1$.

Sea $n$ un número natural mayor que 2. $l$ es una línea en un plano. Hay $n$ puntos distintos $P_1$, $P_2$, …, $P_n$ en $l$. Sea el producto de las distancias entre $P_i$ y los otros $n-1$ puntos sea $d_i$ ($i = 1, 2,$ …, $n$). Existe un punto $Q$, que no está en $l$, en el plano. Sea la distancia de $Q$ a $P_i$ sea $C_i$ ($i = 1, 2,$ …, $n$). Encontrar $S_n = \sum_{i = 1}^{n} (-1)^{n-i} \frac{c_i^2}{d_i}$.

En el $\bigtriangleup ABC$ acutángulo, $H$ es el ortocentro, $O$ es el circuncentro e $I$ es el incentro. Dado que $\angle C > \angle B > \angle A$, demostrar que $I$ se encuentra dentro de $\bigtriangleup BOH$.

Encuentre todos los números primos $p$ tales que existe un polinomio con coeficientes enteros $f(x)=x^{p-1}+a_{p-2}x^{p-2}+…+a_1x+a_0$ que tiene $p-1$ raíces enteras positivas consecutivas y $p^2\mid f(i)f(-i)$ , donde $i$ es la unidad imaginaria.

En $\triangle ABC$ , tenemos $AB>AC>BC$ . $D,E,F$ son los puntos de tangencia del círculo inscrito de $\triangle ABC$ con los segmentos de línea $AB,BC,AC$ respectivamente. Los puntos $L,M,N$ son los puntos medios de los segmentos de línea $DE,EF,FD$ . La línea recta $NL$ se interseca con el rayo $AB$ en $P$ , la línea recta $LM$ se interseca con el rayo $BC$ en $Q$ y la línea recta $NM$ se interseca con el rayo $AC$ en $R$ . Demuestre que $PA \cdot QB \cdot RC = PD \cdot QE \cdot RF$ .

Dado un entero positivo $n\geq 2$ . Sea $A=\{ (a,b)\mid a,b\in \{ 1,2,…,n\} \}$ el conjunto de puntos en el plano de coordenadas cartesianas. ¿De cuántas maneras se pueden colorear los puntos en $A$ , cada uno con uno de los tres colores fijos, de tal manera que, para cualquier $a,b\in \{ 1,2,…,n-1\}$ , si $(a,b)$ y $(a+1,b)$ tienen el mismo color, entonces $(a,b+1)$ y $(a+1,b+1)$ también tienen el mismo color?

Dados dos puntos $E$ y $F$ que se encuentran en el segmento $AB$ y $AD$ , respectivamente. Sean los segmentos $BF$ y $DE$ que se intersecan en el punto $C$ . Si se sabe que $AE+EC=AF+FC$ , demuestre que $AB+BC=AD+DC$ .