Determine el valor más bajo posible de la expresión \[ \frac{1}{a+x} + \frac{1}{a+y} + \frac{1}{b+x} + \frac{1}{b+y} \] donde $a,b,x,$ e $y$ son números reales positivos que satisfacen las desigualdades \[ \frac{1}{a+x} \ge \frac{1}{2} \] \[\frac{1}{a+y} \ge \frac{1}{2} \] \[ \frac{1}{b+x} \ge \frac{1}{2} \] \[ \frac{1}{b+y} \ge 1. \]

Para enteros $n \ge k \ge 0$ definimos el coeficiente bibinomial $\left( \binom{n}{k} \right)$ por \[ \left( \binom{n}{k} \right) = \frac{n!!}{k!!(n-k)!!} .\] Determine todos los pares $(n,k)$ de enteros con $n \ge k \ge 0$ tales que el coeficiente bibinomial correspondiente es un entero. Observación: El doble factorial $n!!$ se define como el producto de todos los enteros positivos pares hasta $n$ si $n$ es par y el producto de todos los enteros positivos impares hasta $n$ si $n$ es impar. Entonces, por ejemplo, $0!! = 1$, $4!! = 2 \cdot 4 = 8$ y $7!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 105$.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB < AC$ e incentro $I$. Sea $E$ el punto en el lado $AC$ tal que $AE = AB$. Sea $G$ el punto en la línea $EI$ tal que $\angle IBG = \angle CBA$ y tal que $E$ y $G$ se encuentran en lados opuestos de $I$. Demuestre que la línea $AI$, la línea perpendicular a $AE$ en $E$ y la bisectriz del ángulo $\angle BGI$ son concurrentes.

Consideramos disecciones de $n$ - gonos regulares en $n - 2$ triángulos mediante $n - 3$ diagonales que no se intersecan dentro del $n$ - gono. Una triangulación bicoloreada es una disección de un $n$ - gono en la que cada triángulo está coloreado de blanco o negro y dos triángulos cualesquiera que compartan un borde tienen colores diferentes. Llamamos a un entero positivo $n \ge 4$ triangulable si todo $n$ - gono regular tiene una triangulación bicoloreada tal que para cada vértice $A$ del $n$ - gono el número de triángulos negros de los cuales $A$ es un vértice es mayor que el número de triángulos blancos de los cuales $A$ es un vértice. Encuentra todos los números triangulables.

Determine todas las funciones $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que \[ xf(y) + f(xf(y)) - xf(f(y)) - f(xy) = 2x + f(y) - f(x+y)\] se cumple para todo $x,y \in \mathbb{R}$.

Sea $n \ge 3$ un entero, y considere un círculo con $n + 1$ puntos marcados en él, espaciados uniformemente. Considere todas las etiquetas de estos puntos con los números $0, 1, ... , n$ de tal manera que cada etiqueta se utilice exactamente una vez; dos de estas etiquetas se consideran iguales si una se puede obtener de la otra por una rotación del círculo. Una etiqueta se llama hermosa si, para cualquier cuatro etiquetas $a < b < c < d$ con $a + d = b + c$, la cuerda que une los puntos etiquetados $a$ y $d$ no se interseca con la cuerda que une los puntos etiquetados $b$ y $c$. Sea $M$ el número de etiquetas hermosas, y sea $N$ el número de pares ordenados $(x, y)$ de enteros positivos tales que $x + y \le n$ y $\gcd(x, y) = 1$. Demostrar que $$M = N + 1.$$

Sea $\mathbb Q_{>0}$ el conjunto de todos los números racionales positivos. Sea $f:\mathbb Q_{>0}\to\mathbb R$ una función que satisface las siguientes tres condiciones: (i) para todo $x,y\in\mathbb Q_{>0}$, tenemos $f(x)f(y)\geq f(xy)$; (ii) para todo $x,y\in\mathbb Q_{>0}$, tenemos $f(x+y)\geq f(x)+f(y)$; (iii) existe un número racional $a>1$ tal que $f(a)=a$. Demostrar que $f(x)=x$ para todo $x\in\mathbb Q_{>0}$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$, y sea $W$ un punto en el lado $BC$, que se encuentra estrictamente entre $B$ y $C$. Los puntos $M$ y $N$ son los pies de las alturas desde $B$ y $C$, respectivamente. Denotemos por $\omega_1$ la circunferencia circunscrita de $BWN$, y sea $X$ el punto en $\omega_1$ tal que $WX$ es un diámetro de $\omega_1$. Análogamente, denotemos por $\omega_2$ la circunferencia circunscrita del triángulo $CWM$, y sea $Y$ el punto tal que $WY$ es un diámetro de $\omega_2$. Demostrar que $X,Y$ y $H$ son colineales.

Sea el excírculo del triángulo $ABC$ opuesto al vértice $A$ tangente al lado $BC$ en el punto $A_1$. Definir los puntos $B_1$ en $CA$ y $C_1$ en $AB$ análogamente, usando los excírculos opuestos a $B$ y $C$, respectivamente. Suponga que el circuncentro del triángulo $A_1B_1C_1$ está en la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$. Demostrar que el triángulo $ABC$ es rectángulo.

Una configuración de $4027$ puntos en el plano se llama Colombiana si consta de $2013$ puntos rojos y $2014$ puntos azules, y no hay tres puntos de la configuración que sean colineales. Al dibujar algunas líneas, el plano se divide en varias regiones. Una disposición de líneas es buena para una configuración Colombiana si se cumplen las dos condiciones siguientes: i) Ninguna línea pasa por ningún punto de la configuración. ii) Ninguna región contiene puntos de ambos colores. Hallar el menor valor de $k$ tal que para cualquier configuración Colombiana de $4027$ puntos, existe una disposición buena de $k$ líneas.