Sea $T$ un triángulo con círculo inscrito $C.$ Un cuadrado con lados de longitud $a$ está circunscrito sobre el mismo círculo $C.$ Demuestre que la longitud total de las partes del borde del cuadrado interior al triángulo $T$ es al menos $2 \cdot a.$

Demuestre que no existen más de $27$ semirectas (o rayos) que emanan del origen en el espacio $3$ - dimensional, tal que el ángulo entre cada par de rayos es $ \geq \frac{\pi}{4}$ .

Sean $ u_1, u_2, \ldots, u_m$ $ m$ vectores en el plano, cada uno de longitud $ \leq 1,$ con suma cero. Demuestre que uno puede ordenar $ u_1, u_2, \ldots, u_m$ como una secuencia $ v_1, v_2, \ldots, v_m$ tal que cada suma parcial $ v_1, v_1 + v_2, v_1 + v_2 + v_3, \ldots, v_1, v_2, \ldots, v_m$ tenga una longitud menor o igual a $ \sqrt {5}.$

Sea $ a$ la raíz positiva más grande de la ecuación $ x^3 - 3 \cdot x^2 + 1 = 0.$ Demuestra que $ \left[a^{1788} \right]$ y $ \left[a^{1988} \right]$ son ambos divisibles por 17. Aquí $ [x]$ denota la parte entera de $ x.$

Si $a_0$ es un número real positivo, considera la secuencia $\{a_n\}$ definida por: \[ a_{n+1} = \frac{a^2_n - 1}{n+1}, n \geq 0. \] Muestra que existe un número real $a > 0$ tal que: i.) para todo $a_0 \geq a,$ la secuencia $\{a_n\} \rightarrow \infty,$ ii.) para todo $a_0 < a,$ la secuencia $\{a_n\} \rightarrow 0.$

En un tetraedro dado $ ABCD$, sean $ K$ y $ L$ los centros de las aristas $ AB$ y $ CD$ respectivamente. Demuestra que todo plano que contiene la línea $ KL$ divide el tetraedro en dos partes de igual volumen.

Sea $ n$ un entero positivo par. Sean $ A_1, A_2, \ldots, A_{n + 1}$ conjuntos que tienen $ n$ elementos cada uno, tales que dos cualesquiera de ellos tienen exactamente un elemento en común, mientras que cada elemento de su unión pertenece al menos a dos de los conjuntos dados. ¿Para qué $ n$ se puede asignar a cada elemento de la unión uno de los números 0 y 1 de tal manera que cada uno de los conjuntos tenga exactamente $ \frac {n}{2}$ ceros?

Un tablero de ajedrez de $ n \times n, n \geq 2$ está numerado con los números $ 1, 2, \ldots, n^2$ (y cada número ocurre). Demuestra que existen dos cuadrados vecinos (con un borde común) tales que sus números difieren en al menos $ n.$

Sea $k$ un entero positivo y $M_k$ el conjunto de todos los enteros que están entre $2 \cdot k^2 + k$ y $2 \cdot k^2 + 3 \cdot k,$ ambos incluidos. ¿Es posible particionar $M_k$ en 2 subconjuntos $A$ y $B$ tales que \[ \sum_{x \in A} x^2 = \sum_{x \in B} x^2. \]

El triángulo $ ABC$ está inscrito en un círculo. Las bisectrices interiores de los ángulos $ A,B$ y $ C$ se encuentran con el círculo nuevamente en $ A', B'$ y $ C'$ respectivamente. Pruebe que el área del triángulo $ A'B'C'$ es mayor o igual que el área del triángulo $ ABC.$