Sea $n$ un entero positivo $\geq 2$ . Considera una cuadrícula de $n$ por $n$ con todas las entradas $1$ . Define una operación en un cuadrado como cambiar los signos de todos los cuadrados adyacentes a él, pero no el signo del suyo propio. Encuentra todos los $n$ tales que es posible después de una secuencia finita de operaciones alcanzar una cuadrícula de $n$ por $n$ con todas las entradas $-1$

Define una secuencia $\{a_n\}$ por $$a_0=\frac{1}{2},\ a_{n+1}=a_{n}+\frac{a_{n}^2}{2012}, (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots),$$ encuentra el entero $k$ tal que $a_{k}<1<a_{k+1}.$

$O$ es el circuncentro del triángulo acutángulo $\Delta ABC$ , $H$ es el ortocentro. $AD \bot BC$ , $EF$ es la bisectriz perpendicular de $AO$ , $D,E$ en $BC$ . Demuestra que la circunferencia circunscrita de $\Delta ADE$ pasa por el punto medio de $OH$ .

Encuentra el entero positivo más pequeño $m$ que satisface la siguiente condición: para todos los números primos $p$ tales que $p>3$ , se tiene $105|9^{ p^2}-29^p+m.$

Sea $(a_n)$ una secuencia de números reales no negativos que satisfacen $a_{n+m}\le a_n+a_m$ para todos los enteros no negativos $m,n$ . Demuestre que si $n\ge m$ entonces $a_n\le ma_1+\left(\dfrac{n}{m}-1\right)a_m$ se cumple.

Sea $A=\{1,2,3,\cdots ,17\}$ . Una función $f:A\rightarrow A$ se define de la siguiente manera: $f^{[1]}(x)=f(x), f^{[k+1]}(x)=f(f^{[k]}(x))$ para $k\in\mathbb{N}$ . Suponga que $f$ es biyectiva y que existe un número natural $M$ tal que: i) cuando $m<M$ y $1\le i\le 16$ , tenemos $f^{[m]}(i+1)- f^{[m]}(i) \not=\pm 1\pmod{17}$ y $f^{[m]}(1)- f^{[m]}(17) \not=\pm 1\pmod{17}$ ; ii) cuando $1\le i\le 16$ , tenemos $f^{[M]}(i+1)- f^{[M]}(i)=\pm 1 \pmod{17}$ y $f^{[M]}(1)- f^{[M]}(17)=\pm 1\pmod{17}$ . Encuentre el valor máximo de $M$ .

Considere un cuadrilátero cíclico $ABCD$ . Las extensiones de sus lados $AB,DC$ se encuentran en el punto $P$ y las extensiones de sus lados $AD,BC$ se encuentran en el punto $Q$ . Suponga que $\quad QE,QF$ son tangentes a la circunferencia circunscrita del cuadrilátero $ABCD$ en $E,F$ respectivamente. Demuestre que $P,E,F$ son colineales.

Sea \(n>1\) un entero, y sean \(x_1, x_2, ..., x_n\) números reales que satisfacen \(x_1, x_2, ..., x_n \in [0,n]\) con \(x_1x_2...x_n = (n-x_1)(n-x_2)...(n-x_n)\) . Encuentra el valor máximo de \(y = x_1 + x_2 + ... + x_n\) .

Sea \(Q\) un conjunto de permutaciones de \(1,2,...,100\) tal que para todo \(1\leq a,b \leq 100\) , \(a\) se puede encontrar a la izquierda de \(b\) y adyacente a \(b\) en como máximo una permutación en \(Q\) . Encuentra el mayor número posible de elementos en \(Q\) .

Sea \(D\) el punto medio del lado \(BC\) del triángulo \(ABC\) . Sean \(E, F\) puntos en los lados \(AB, AC\) respectivamente tales que \(DE = DF\) . Demuestra que \(AE + AF = BE + CF \iff \angle EDF = \angle BAC\).