¿Cuál es el entero impar positivo más pequeño $n$ tal que el producto de \[ 2^{\frac{1}{7}}, 2^{\frac{3}{7}}, \ldots, 2^{\frac{2 \cdot n + 1}{7}} \] es mayor que 1000?

Si $r$ es el resto cuando cada uno de los números 1059, 1417 y 2312 se divide por $d,$ donde $d$ es un entero mayor que uno, entonces encuentre el valor de $d-r.$

Si $p,q$ y $r$ son raíces distintas de $x^3 - x^2 + x - 2 = 0$ entonces encuentre el valor de $p^3 + q^3 + r^3.$

El polinomio $x^{2 \cdot k} + 1 + (x+1)^{2 \cdot k}$ no es divisible por $x^2 + x + 1.$ Encuentra el valor de $k.$

Suponga que $ ABCD$ y $ EFGH$ son caras opuestas de un sólido rectangular, con $ \angle DHC = 45^{\circ}$ y $ \angle FHB = 60^{\circ}.$ Encuentre el coseno de $ \angle BHD.$

Cuatro bolas de radio 1 son mutuamente tangentes, tres descansan en el suelo y la cuarta descansa sobre las demás. Un tetraedro, cada uno de cuyos bordes tiene longitud $ s,$ está circunscrito alrededor de las bolas. Encuentra el valor de $ s.$

Sea $E$ un punto externo a un círculo y suponga que dos cuerdas $EAB$ y $EDC$ se encuentran en un ángulo de $40^{\circ}.$ Si $AB = BC = CD$ encuentre el tamaño del ángulo $ACD.$

Sea $ABC$ un triángulo con $AB = 12$ y $AC = 16.$ Suponga que $M$ es el punto medio del lado $BC$ y los puntos $E$ y $F$ se eligen en los lados $AC$ y $AB$ , respectivamente, y suponga que las líneas $EF$ y $AM$ se intersecan en $G.$ Si $AE = 2 \cdot AF$ entonces encuentre la razón \[ \frac{EG}{GF} \]

Una secuencia de números $a_n, n = 1,2, \ldots,$ se define como sigue: $a_1 = \frac{1}{2}$ y para cada $n \geq 2$ \[ a_n = \frac{2 n - 3}{2 n} a_{n-1}. \] Demuestre que $\sum^n_{k=1} a_k < 1$ para todo $n \geq 1.$

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Las líneas $L_{A}$ , $L_{B}$ y $L_{C}$ se construyen a través de los vértices $A$ , $B$ y $C$ respectivamente según la siguiente prescripción: Sea $H$ el pie de la altura trazada desde el vértice $A$ al lado $BC$ ; sea $S_{A}$ el círculo con diámetro $AH$ ; sea $S_{A}$ encontrar los lados $AB$ y $AC$ en $M$ y $N$ respectivamente, donde $M$ y $N$ son distintos de $A$ ; entonces sea $L_{A}$ la línea que pasa por $A$ perpendicular a $MN$ . Las líneas $L_{B}$ y $L_{C}$ se construyen de manera similar. Demuestre que las líneas $L_{A}$ , $L_{B}$ y $L_{C}$ son concurrentes.