$A$ es el conjunto de puntos de un $n$ - gono convexo en un plano. Las distancias distintas por pares entre dos puntos en $A$ dispuestas en orden descendente es $d_1>d_2>...>d_m>0$ . Sea el número de pares no ordenados de puntos en $A$ tales que su distancia es $d_i$ sea exactamente $\mu _i$ , para $i=1, 2,..., m$ . Pruebe: Para cualquier entero positivo $k\leq m$ , $\mu _1+\mu _2+...+\mu _k\leq (3k-1)n$ .

Dado un entero positivo fijo $a\geq 9$ . Pruebe: Existen finitamente muchos enteros positivos $n$ , que satisfacen: (1 ) $\tau (n)=a$ (2 ) $n|\phi (n)+\sigma (n)$ Nota: Para el entero positivo $n$ , $\tau (n)$ es el número de divisores positivos de $n$ , $\phi (n)$ es el número de enteros positivos $\leq n$ y relativamente primos con $n$ , $\sigma (n)$ es la suma de los divisores positivos de $n$ .

Pruebe que para cualquier entero positivo $k$ y $N$ , $\left(\frac{1}{N}\sum\limits_{n=1}^{N}(\omega (n))^k\right)^{\frac{1}{k}}\leq k+\sum\limits_{q\leq N}\frac{1}{q},$ donde $\sum\limits_{q\leq N}\frac{1}{q}$ es la suma de las potencias primas $q\leq N$ (incluyendo $q=1$ ) . Nota: Para el entero $n>1$ , $\omega (n)$ denota el número de factores primos distintos de $n$ , y $\omega (1)=0$ .

Dado $r\in\mathbb{R}$. Alicia y Bob juegan el siguiente juego: Una ecuación con espacios en blanco está escrita en la pizarra como se muestra a continuación: $$S=|\Box-\Box|+|\Box-\Box|+|\Box-\Box|$$ En cada ronda, Alicia elige un número real de $[0,1]$ (no necesariamente diferente de los números elegidos antes) y Bob lo rellena en un cuadro vacío. Después de 6 rondas, cada espacio en blanco se llena y $S$ se determina al mismo tiempo. Si $S\ge r$ entonces Alicia gana, de lo contrario Bob gana. Encuentra todos los $r$ tales que Alicia pueda garantizar su victoria.

¿Existe un conjunto infinito $S$ que consta de enteros positivos, de modo que para cualquier $x,y,z,w\in S,x<y,z<w$, si $(x,y)\ne (z,w)$, entonces $\gcd(xy+2022,zw+2022)=1$?

En un triángulo acutángulo $\triangle ABC$, $H$ es el ortocentro, $BD$, $CE$ son alturas. $M$ es el punto medio de $BC$. $P$, $Q$ están en los segmentos $BM$, $DE$, respectivamente. $R$ está en el segmento $PQ$ tal que $\frac{BP}{EQ}=\frac{CP}{DQ}=\frac{PR}{QR}$. Suponga que $L$ es el ortocentro de $\triangle AHR$, entonces pruebe: $QM$ pasa por el punto medio de $RL$.

Sean $a,b,c,d$ números reales tales que $a\geq b,c\geq d$, \[|a|+2|b|+3|c|+4|d|=1.\] Sea $P=(a-b)(b-c)(c-d)$, encontrar el valor máximo y mínimo de $P$.

Sean $A,B,C,D,E$ puntos en un círculo $\omega$, que satisfacen $AB=BD$, $BC=CE$. $AC$ se encuentra con $BE$ en $P$. $Q$ está en $DE$ tal que $BE//AQ$. Suponga que $\odot(APQ)$ intersecta a $\omega$ nuevamente en $T$. $A'$ es la reflexión de $A$ con respecto a $BC$. Demuestre que $A'BPT$ se encuentra en el mismo círculo.

En un gráfico de ${8}$ × ${8}$ cuadrados, excavamos $n$ cuadrados, entonces no podemos recortar un gráfico de 'T' con forma de 5 cuadrados de los cuadrados restantes. Entonces encontrar el valor mínimo de $n$.

Sean $x,y,z\geq0$ números reales tales que $x+y+z=1$. Definir $f(x,y,z)$ de esta manera : \[f(x,y,z)=\frac{x(2y-z)}{1+x+3y}+\frac{y(2z-x)}{1+y+3z}+\frac{z(2x-y)}{1+z+3x}\] Encontrar el valor mínimo y el valor máximo de $f(x,y,z)$.