Dado un conjunto $S=\{1,2,3,\ldots,3n\},(n\in N^*)$ , sea $T$ un subconjunto de $S$ , tal que para cualquier $x, y, z\in T$ (no necesariamente distintos) tenemos $x+y+z\not \in T$ . Encuentre el número máximo de elementos que $T$ puede tener.

Para el entero positivo $k>1$ , sea $f(k)$ el número de formas de factorizar $k$ en un producto de enteros positivos mayores que $1$ (El orden de los factores no se cuenta, por ejemplo $f(12)=4$ , ya que $12$ se puede factorizar de estas $4$ formas: $12,2\cdot 6,3\cdot 4, 2\cdot 2\cdot 3$ . Pruebe: Si $n$ es un entero positivo mayor que $1$ , $p$ es un factor primo de $n$ , entonces $f(n)\leq \frac{n}{p}$

Sea $n$ un entero dado que es mayor que $1$ . Encuentre la mayor constante $\lambda(n)$ tal que para cualquier complejo no nulo $z_1,z_2,\cdots,z_n$ , se tiene que $\sum_{k=1}^n |z_k|^2\geq \lambda(n)\min\limits_{1\le k\le n}\{|z_{k+1}-z_k|^2\},$ donde $z_{n+1}=z_1$ .

Sea $k$ un entero impar fijo, $k>3$ . Pruebe: Existen infinitamente muchos enteros positivos $n$ , tales que hay dos enteros positivos $d_1, d_2$ que satisfacen $d_1,d_2$ cada uno dividiendo $\frac{n^2+1}{2}$ , y $d_1+d_2=n+k$ .

Muestre que no hay 2-tuplas $ (x,y)$ de enteros positivos que satisfagan la ecuación $ (x+1) (x+2)\cdots (x+2014)= (y+1) (y+2)\cdots (y+4028).$

Sea $A_1A_2...A_{101}$ un $101$ - gono regular, y coloree cada vértice de rojo o azul. Sea $N$ el número de triángulos obtusángulos que satisfacen lo siguiente: Los tres vértices del triángulo deben ser vértices del $101$ - gono, ambos vértices con ángulos agudos tienen el mismo color, y el vértice con ángulo obtuso tiene un color diferente. $(1)$ Encuentre el valor máximo posible de $N$ . $(2)$ Encuentre el número de formas de colorear los vértices tales que se alcance el máximo $N$ . (Dos coloraciones son diferentes si para algún $A_i$ los colores son diferentes en los dos esquemas de coloración).

Sea el circuncentro del triángulo $ABC$ como $O$ . $H_A$ es la proyección de $A$ sobre $BC$ . La extensión de $AO$ intersecta la circunferencia circunscrita de $BOC$ en $A'$ . Las proyecciones de $A'$ sobre $AB, AC$ son $D,E$ , y $O_A$ es el circuncentro del triángulo $DH_AE$ . Defina $H_B, O_B, H_C, O_C$ de manera similar. Pruebe: $H_AO_A, H_BO_B, H_CO_C$ son concurrentes

Sea $k$ un entero positivo par fijo, $N$ es el producto de $k$ primos distintos $p_1,...,p_k$ , $a,b$ son dos enteros positivos, $a,b\leq N$ . Denotemos $S_1=\{d|$ $d|N, a\leq d\leq b, d$ tiene un número par de factores primos $\}$ , $S_2=\{d|$ $d|N, a\leq d\leq b, d$ tiene un número impar de factores primos $\}$ , Pruebe: $|S_1|-|S_2|\leq C^{\frac{k}{2}}_k$

Encuentre la constante positiva más pequeña $c$ que satisface: Para cualquier grafo simple $G=G(V,E)$ , si $|E|\geq c|V|$ , entonces $G$ contiene $2$ ciclos sin vértice común, y uno de ellos contiene una cuerda. Nota: El ciclo del grafo $G(V,E)$ es un conjunto de vértices distintos ${v_1,v_2...,v_n}\subseteq V$ , $v_iv_{i+1}\in E$ para todo $1\leq i\leq n$ $(n\geq 3, v_{n+1}=v_1)$ ; un ciclo que contiene una cuerda es el ciclo ${v_1,v_2...,v_n}$ , tal que existe $i,j, 1< i-j< n-1$ , que satisface $v_iv_j\in E$ .

Dado el círculo $O$ con radio $R$ , el triángulo inscrito $ABC$ es un triángulo escaleno agudo, donde $AB$ es el lado más largo. $AH_A, BH_B,CH_C$ son alturas sobre $BC,CA,AB$ . Sea $D$ el punto simétrico de $H_A$ con respecto a $H_BH_C$ , $E$ el punto simétrico de $H_B$ con respecto a $H_AH_C$ . $P$ es la intersección de $AD,BE$ , $H$ es el ortocentro del $\triangle ABC$ . Pruebe: $OP\cdot OH$ es fijo, y encuentre este valor en términos de $R$ .