Sea $g(n)$ definida como sigue: \[ g(1) = 0, g(2) = 1 \] y \[ g(n+2) = g(n) + g(n+1) + 1, n \geq 1. \] Demuestra que si $n > 5$ es un primo, entonces $n$ divide a $g(n) \cdot (g(n) + 1).$

Sea $-1 < x < 1.$ Muestra que \[ \sum^{6}_{k=0} \frac{1 - x^2}{1 - 2 \cdot x \cdot \cos \left( \frac{2 \cdot \pi \cdot k }{7} \right) + x^2} = \frac{7 \cdot \left( 1 + x^7 \right)}{\left( 1 - x^7 \right)}. \] Deduce que \[ \csc^2\left( x + \frac{\pi}{7} \right) + \csc^2\left(2 \cdot x + \frac{\pi}{7} \right) + \csc^2\left(3 \cdot x + \frac{\pi}{7} \right) = 8. \]

Encuentra todos los triángulos planos cuyos lados tienen longitud entera y cuyos incírculos tienen radio unitario.

Muestra que el conjunto solución de la desigualdad \[ \sum^{70}_{k = 1} \frac {k}{x - k} \geq \frac {5}{4} \] es una unión de intervalos disjuntos, la suma de cuya longitud es 1988.

i.) Calcula $x$ si \[ x = \frac{(11 + 6 \cdot \sqrt{2}) \cdot \sqrt{11 - 6 \cdot \sqrt{2}} - (11 - 6 \cdot \sqrt{2}) \cdot \sqrt{11 + 6 \cdot \sqrt{2}}}{(\sqrt{\sqrt{5} + 2} + \sqrt{\sqrt{5} - 2}) - (\sqrt{\sqrt{5}+1})} \] ii.) Para cada número positivo $x,$ sea \[ k = \frac{\left( x + \frac{1}{x} \right)^6 - \left( x^6 + \frac{1}{x^6} \right) - 2}{\left( x + \frac{1}{x} \right)^3 - \left( x^3 + \frac{1}{x^3} \right)} \] Calcula el valor mínimo de $k.$

En el triángulo $ABC, AB = AC$ y $\angle CAB = 80^{\circ}.$ Si los puntos $D,E$ y $F$ se encuentran en los lados $BC, AC$ y $AB,$ respectivamente y $CE = CD$ y $BF = BD,$ entonces encuentre el tamaño de $\angle EDF.$

Considere un círculo $K$ con diámetro $AB;$ con un círculo $L$ tangente a $AB$ y a $K$ y con un círculo $M$ tangente al círculo $K,$ círculo $L$ y $AB.$ Calcule la razón del área del círculo $K$ al área del círculo $M.$

La función $f$ satisface la ecuación funcional $f(x) + f(y) = f(x+y) - x \cdot y - 1$ para cada par $x,y$ de números reales. Si $f(1) = 1,$ entonces encuentre el número de enteros $n,$ para los cuales $f(n) = n.$

Si $k$ es un número positivo y $f$ es una función tal que, para cada número positivo $x, f(x^2 + 1 )^{\sqrt{x}} = k.$ Encuentre el valor de \[ f( \frac{9 +y^2}{y^2})^{\sqrt{ \frac{12}{y} }} \] para cada número positivo $y.$

Sea $g(x) = x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1.$ ¿Cuál es el resto cuando el polinomio $g(x^{12}$ se divide por el polinomio $g(x)$ ?