En una prueba de opción múltiple había 4 preguntas y 3 respuestas posibles para cada pregunta. Se examinó a un grupo de estudiantes y resultó que para cada tres de ellos había una pregunta que los tres estudiantes respondieron de manera diferente. ¿Cuál es el número máximo de estudiantes examinados?

Se dan $n$ puntos en la superficie de una esfera. Demuestre que la superficie se puede dividir en $n$ regiones congruentes de tal manera que cada una de ellas contenga exactamente uno de los puntos dados.

¿Para qué valores de $n$ existe una matriz de $n \times n$ de entradas -1, 0 o 1 tal que las $2 \cdot n$ sumas obtenidas al sumar los elementos de las filas y las columnas son todas diferentes?

En el triángulo $ABC$ sean $D,E$ y $F$ los puntos medios de los tres lados, $X,Y$ y $Z$ los pies de las tres alturas, $H$ el ortocentro, y $P,Q$ y $R$ los puntos medios del segmento de línea que une $H$ a los tres vértices. Demuestre que los nueve puntos $D,E,F,P,Q,R,X,Y,Z$ se encuentran en un círculo.

Exprese el número 1988 como la suma de algunos enteros positivos de tal manera que el producto de estos enteros positivos sea máximo.

Encuentre una condición necesaria y suficiente para que el número natural $n$ para la ecuación \[ x^n + (2 + x)^n + (2 - x)^n = 0 \] tenga una raíz integral.

Asumiendo que las raíces de $x^3 + p \cdot x^2 + q \cdot x + r = 0$ son reales y positivas, encuentre una relación entre $p,q$ y $r$ que dé una condición necesaria para que las raíces sean exactamente los cosenos de los tres ángulos de un triángulo.

El círculo $x^2+ y^2 = r^2$ se encuentra con el eje de coordenadas en $A = (r,0), B = (-r,0), C = (0,r)$ y $D = (0,-r).$ Sean $P = (u,v)$ y $Q = (-u,v)$ dos puntos en la circunferencia del círculo. Sea $N$ el punto de intersección de $PQ$ y el eje $y$, y $M$ el pie de la perpendicular trazada desde $P$ al eje $x$. Si $r^2$ es impar, $u = p^m > q^n = v,$ donde $p$ y $q$ son números primos y $m$ y $n$ son números naturales, demuestre que \[ |AM| = 1, |BM| = 9, |DN| = 8, |PQ| = 8. \]

Encuentra el número total de enteros diferentes que toma la función \[ f(x) = \left[x \right] + \left[2 \cdot x \right] + \left[\frac{5 \cdot x}{3} \right] + \left[3 \cdot x \right] + \left[4 \cdot x \right] \] para $0 \leq x \leq 100.$

Encuentra los enteros positivos $x_1, x_2, \ldots, x_{29}$ al menos uno de los cuales es mayor que 1988 de modo que \[ x^2_1 + x^2_2 + \ldots x^2_{29} = 29 \cdot x_1 \cdot x_2 \ldots x_{29}. \]