Sean $\odot O$ , $\odot I$ los circuncírculos y los círculos inscritos del triángulo $ABC$ . Demostrar que: Desde cada punto $D$ en $\odot O$, podemos construir un triángulo $DEF$ tal que $ABC$ y $DEF$ tengan el mismo circuncírculo y círculos inscritos.

Sea $X=(x_1,x_2,......,x_9)$ una permutación del conjunto $\{1,2,\ldots,9\}$ y sea $A$ el conjunto de todas las $X$. Para cualquier $X \in A$ , denotemos $f(X)=x_1+2x_2+\cdots+9x_9$ y $ M=\{f(X)|X \in A \}$. Encontrar $|M|$. ( $|S|$ denota el número de miembros del conjunto $S$ . )

Dados 12 puntos rojos en un círculo, encontrar el valor mínimo de $n$ tal que existan $n$ triángulos cuyos vértices son los puntos rojos. Satisface: cada cuerda cuyos puntos son los puntos rojos es el borde de uno de los $n$ triángulos.

En el pentágono convexo $ABCDE$ sabemos que $AB=DE, BC=EA$ pero $AB \neq EA$. $B,C,D,E$ son concíclicos. Demostrar que $A,B,C,D$ son concíclicos si y sólo si $AC=AD$.

Un punto $(x,y)$ es un punto reticular si $x,y\in\Bbb Z$ . Sea $E=\{(x,y):x,y\in\Bbb Z\}$ . En el plano de coordenadas, $P$ y $Q$ son ambos conjuntos de puntos en y sobre el límite de un polígono convexo con vértices en puntos reticulares. Sea $T=P\cap Q$ . Demuestre que si $T\ne\emptyset$ y $T\cap E=\emptyset$ , entonces $T$ es una región cuadrilátera convexa no degenerada.

Sea $k\ge 2$ un entero y sean $a_1 ,a_2 ,\cdots ,a_n,b_1 ,b_2 ,\cdots ,b_n$ números reales no negativos. Demuestre que \[\left(\frac{n}{n-1}\right)^{n-1}\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} a_i^2\right)+\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} b_i\right)^2\ge\prod_{i=1}^{n}(a_i^{2}+b_i^{2})^{\frac{1}{n}}.\]

Sea $p$ un número primo y $a, k$ enteros positivos tales que $p^a<k<2p^a$ . Demuestre que existe un entero positivo $n$ tal que \[n<p^{2a}, C_n^k\equiv n\equiv k\pmod {p^a}.\]

Sea $n\ge 2$ un entero. $a_1,a_2,\dotsc,a_n$ son enteros positivos elegidos arbitrariamente con $(a_1,a_2,\dotsc,a_n)=1$ . Sea $A=a_1+a_2+\dotsb+a_n$ y $(A,a_i)=d_i$ . Sea $(a_2,a_3,\dotsc,a_n)=D_1, (a_1,a_3,\dotsc,a_n)=D_2,\dotsc, (a_1,a_2,\dotsc,a_{n-1})=D_n$ . Encuentre el mínimo de $\prod\limits_{i=1}^n\dfrac{A-a_i}{d_iD_i}$

$101$ personas, sentadas en una mesa redonda en cualquier orden, tenían $1,2,... , 101$ cartas, respectivamente. Una transferencia es que alguien le dé una carta a una de las dos personas adyacentes a él. Encuentre el entero positivo más pequeño $k$ tal que siempre se pueda, a través de no más de $k$ transferencias, que cada persona tenga cartas del mismo número, independientemente del orden en que esté sentada.

La circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ tiene centro $O$. $P$ es el punto medio de $\widehat{BAC}$ y $QP$ es el diámetro. Sea $I$ el incentro del $\triangle ABC$ y sea $D$ la intersección de $PI$ y $BC$. La circunferencia circunscrita del $\triangle AID$ y la extensión de $PA$ se encuentran en $F$. El punto $E$ se encuentra en el segmento de línea $PD$ tal que $DE=DQ$ . Sean $R,r$ el radio del círculo inscrito y la circunferencia circunscrita del $\triangle ABC$ , respectivamente. Demuestre que si $\angle AEF=\angle APE$ , entonces $\sin^2\angle BAC=\dfrac{2r}R$