Sean $A,B$ dos puntos fijos en un plano y $\Omega$ un arco de semicírculo fijo con diámetro $AB$ . Sea $T$ otro punto fijo en $\Omega$ , y $\omega$ un círculo fijo que pasa por $A$ y $T$ y tiene su centro en $\Delta ABT$ . Sea $P$ un punto móvil en el arco $TB$ (extremos excluidos), y $C,D$ dos puntos móviles en $\omega$ tales que $C$ se encuentra en el segmento $AP$ , $C,D$ se encuentran en diferentes lados de la línea $AB$ y $CD\ \bot \ AB$ . Denotemos el circuncentro de $\Delta CDP$ de $K$ . Demuestra que (i) $K$ se encuentra en la circunferencia circunscrita de $\Delta TDP$ . (ii) $K$ es un punto fijo.

Lanzamos un dado tres veces y los números son $x,y,z$ averigua la posibilidad de $\binom{7}{x}<\binom{7}{y}<\binom{7}{z}$

Sean $a,b,c $ las longitudes de los tres lados de un triángulo y $a,b$ las dos raíces de la ecuación $ax^2-bx+c=0 $ $ (a<b) . $ Encuentra el rango de valores de $ a+b-c .$

Encuentra la suma de las 20 soluciones reales positivas más pequeñas de la ecuación $\sin x=\cos 2x .$

Si tres vectores no nulos en un plano $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ satisfacen: (a) $\vec{a}\bot\vec{b}$ (b) $\vec{b}\cdot\vec{c}=2|\vec{a}|$ (c) $\vec{c}\cdot\vec{a}=3|\vec{b}|$ averigua el mínimo de $|\vec{c}|$

Si a,b∈R+ , $a^{\log b}=2$ , $a^{\log a}b^{\log b}=5$ , averigua $(ab)^{\log ab}$

Definimos un número complejo $z=9+10i$ por favor encuentra el máximo entero positivo $n$ que satisface $|z^n|\leq2023$

Sea $M= \{ 1, 2, \cdots, 19 \}$ y $A = \{ a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{k}\} \subseteq M$. Encuentre el mínimo $k$ para que para cualquier $b \in M$, existan $a_{i}, a_{j}\in A$, que satisfagan $b=a_{i}$ o $b=a_{i}\pm a_{i}$ ( $a_{i}$ y $a_{j}$ no tienen que ser diferentes).

Sean $a_1,a_2,...$ una secuencia de enteros no negativos tales que para cualesquiera $m,n$ \[ \sum_{i=1}^{2m} a_{in} \leq m.\] Demostrar que existen $k,d$ tales que \[ \sum_{i=1}^{2k} a_{id} = k-2014.\]

Dados $30$ estudiantes tales que cada estudiante tiene a lo sumo $5$ amigos y para cada $5$ estudiantes hay un par de estudiantes que no son amigos, determinar el máximo $k$ tal que para todas las posibles configuraciones, existen $k$ estudiantes que no son amigos.