Definamos cortar un polígono convexo con $n$ lados eligiendo un par de lados consecutivos $AB$ y $BC$ y sustituyéndolos por tres segmentos $AM, MN$ , y $NC$ , donde $M$ es el punto medio de $AB$ y $N$ es el punto medio de $BC$ . En otras palabras, el triángulo $MBN$ se elimina y se obtiene un polígono convexo con $n+1$ lados. Sea $P_6$ un hexágono regular con área $1$ . $P_6$ se corta y se obtiene el polígono $P_7$ . Luego, $P_7$ se corta de una de siete maneras y se obtiene el polígono $P_8$ , y así sucesivamente. Demuestre que, independientemente de cómo se hagan los cortes, el área de $P_n$ es siempre mayor que $2/3$ .

En una línea, se marcan $44$ puntos y se numeran $1, 2, 3,…,44$ de izquierda a derecha. Varios grillos saltan alrededor de la línea. Cada uno comienza en el punto $1$ , saltando sobre los puntos marcados y terminando en el punto $44$ . Además, cada grillo salta de un punto marcado a otro punto marcado con un número mayor. Cuando todos los grillos han terminado de saltar, resulta que para cada par $i, j$ con ${1}\leq{i}<{j}\leq{44}$ , hubo un grillo que saltó directamente del punto $i$ al punto $j$ , sin visitar ninguno de los puntos intermedios. Determine el número más pequeño de grillos para que esto sea posible.

Pedro debe elegir dos fracciones irreducibles, cada una con numerador y denominador positivo, tales que: La suma de las fracciones es igual a $2$ . La suma de los numeradores de las fracciones es igual a $1000$ . ¿De cuántas maneras puede Pedro hacer esto?

Dado un primo $p$, demuestre que la suma $\sum_{k=1}^{\lfloor \frac{q}{p} \rfloor}{k^{p-1}}$ no es divisible por $q$ para todos los primos $q$ excepto para un número finito.

Determinar todos los enteros $n \ge 3$ cuya expansión decimal tiene menos de $20$ dígitos, tal que cada no residuo cuadrático módulo $n$ es una raíz primitiva módulo $n$. Un entero $a$ es un no residuo cuadrático módulo $n$, si no existe un entero $b$ tal que $a - b^2$ es divisible por $n$. Un entero $a$ es una raíz primitiva módulo $n$, si para cada entero $b$ relativamente primo con $n$ existe un entero positivo $k$ tal que $a^k - b$ es divisible por $n$.

Comenzamos con cualquier lista finita de enteros positivos distintos. Podemos reemplazar cualquier par $n, n + 1$ (no necesariamente adyacentes en la lista) por el único entero $n-2$ , ahora permitiendo negativos y repeticiones en la lista. También podemos reemplazar cualquier par $n, n + 4$ por $n - 1$ . Podemos repetir estas operaciones tantas veces como queramos. Determine el entero más negativo que puede aparecer en una lista, o demuestre que no existe tal mínimo.

Sea $p > 3$ un número primo, y sea $F_p$ el conjunto (finito) de clases de residuos módulo $p$ . Sea $S_d$ el conjunto de polinomios de $2$ variables $P(x, y)$ con coeficientes en $F_p$ , grado total $\le d$ , y que satisfacen $P(x, y) = P(y,- x -y)$ . Demuestre que $$|S_d| = p^{\lceil (d+1)(d+2)/6 \rceil}$$ . El grado total de un polinomio de $2$ variables $P(x, y)$ es el valor más grande de $i + j$ entre los monomios $x^iy^j$ que aparecen en $P$ .

Comenzamos con cualquier lista finita de enteros positivos distintos. Podemos reemplazar cualquier par $n, n + 1$ (no necesariamente adyacentes en la lista) por el único entero $n-2$ , ahora permitiendo negativos y repeticiones en la lista. También podemos reemplazar cualquier par $n, n + 4$ por $n - 1$ . Podemos repetir estas operaciones tantas veces como queramos. Determine el entero más negativo que puede aparecer en una lista, o demuestre que no existe tal mínimo.

Sean $z_1, z_2, z_3$ números complejos distintos por pares que satisfacen $|z_1| = |z_2| = |z_3| = 1$ y \[\frac{1}{2 + |z_1 + z_2|}+\frac{1}{2 + |z_2 + z_3|}+\frac{1}{2 + |z_3 + z_1|} =1.\] Si los puntos $A(z_1),B(z_2),C(z_3)$ son vértices de un triángulo acutángulo, demuestra que este triángulo es equilátero.

Sean $a,b,c>0$ y $ab+bc+ca+2abc=1$ entonces demuestra que \[2(a+b+c)+1\geq 32abc\]