Encuentre el entero positivo más pequeño $k$ tal que, para cualquier subconjunto $A$ de $S=\{1,2,\ldots,2012\}$ con $|A|=k$ , existen tres elementos $x,y,z$ en $A$ tales que $x=a+b$ , $y=b+c$ , $z=c+a$ , donde $a,b,c$ están en $S$ y son enteros distintos.

Considere un entero par libre de cuadrados $n$ y un primo $p$ , tal que 1) $(n,p)=1$ ; 2) $p\le 2\sqrt{n}$ ; 3) Existe un entero $k$ tal que $p|n+k^2$ . Pruebe que existen enteros positivos distintos por pares $a,b,c$ tales que $n=ab+bc+ca$ .

Sea $f(x)=(x + a)(x + b)$ donde $a,b>0$ . Para cualquier real $x_1,x_2,\ldots ,x_n\geqslant 0$ que satisfacen $x_1+x_2+\ldots +x_n =1$ , encuentre el máximo de $F=\sum\limits_{1 \leqslant i < j \leqslant n} {\min \left\{ {f({x_i}),f({x_j})}\right\} } $ .

2 jugadores A y B juegan el siguiente juego con A yendo primero: En el turno de cada jugador, él pone un número del 1 al 99 entre 99 puntos igualmente espaciados en un círculo (los números no pueden repetirse), y el jugador que completa 3 números consecutivos que forman una progresión aritmética alrededor del círculo gana el juego. ¿Quién tiene la estrategia ganadora? Explica tu razonamiento.

Para $a_1 = 3$ , define la secuencia $a_1, a_2, a_3, \ldots$ para $n \geq 1$ como $$na_{n+1}=2(n+1)a_n-n-2.$$ Demuestra que para cualquier primo impar $p$ , existe un entero positivo $m,$ tal que $p|a_m$ y $p|a_{m+1}.$

Sea $H$ el ortocentro del triángulo $ABC$. Sean $D$ y $E$ puntos en $AB$ y $AC$ tales que $DE$ es paralelo a $CH$. Si la circunferencia circunscrita del triángulo $BDH$ pasa por $M$, el punto medio de $DE$, entonces demuestre que $\angle ABM=\angle ACM$

Sean $a$, $b$, $c$ reales no negativos tales que $$a^2+b^2+c^2+ab+\frac{2}{3}ac+\frac{4}{3}bc=1$$ Encuentra el valor máximo y mínimo de $a+b+c$.

Sea $a=1+10^{-4}$ . Considera alguna matriz de $2023\times 2023$ con cada entrada un real en $[1,a]$ . Sea $x_i$ la suma de los elementos de la fila $i$ - ésima e $y_i$ la suma de los elementos de la columna $i$ - ésima para cada entero $i\in [1,n]$ . Encuentra el valor máximo posible de $\dfrac{y_1y_2\cdots y_{2023}}{x_1x_2\cdots x_{2023}}$ (la respuesta puede expresarse en términos de $a$ ) .

Encuentra el entero positivo más pequeño ${k}$ con las siguientes propiedades $:{}{}{}{}{}$ Si cada entero positivo se colorea arbitrariamente de rojo o azul e ${}{}{},$ puede haber ${}{}{}{}9$ enteros positivos rojos distintos $x_1,x_2,\cdots ,x_9,$ que satisfacen $$x_1+x_2+\cdots +x_8<x_9,$$ o hay $10{}{}{}{}{}{}$ enteros positivos azules distintos $y_1,y_2,\cdots ,y_{10}$ que satisfacen $${y_1+y_2+\cdots +y_9<y_{10}}.$$

Para algún entero positivo $n$ , $n$ se considera un número $\textbf{único}$ si para cualquier otro entero positivo $m\neq n$ , {$\dfrac{2^n}{n^2}$}$\neq{\dfrac{2^m}{m^2}}$ se cumple. Demuestra que hay una lista infinita que consta de números únicos compuestos cuyos elementos son coprimos por pares.