Ana dibuja un tablero de ajedrez que tiene al menos 20 filas y al menos 24 columnas. Luego, Beto debe cubrir completamente ese tablero, sin huecos ni superposiciones, usando solo piezas de los siguientes dos tipos:\nCada pieza debe cubrir exactamente 4 o 3 casillas del tablero, como se muestra en la figura, sin salir del tablero. Se permite rotar las piezas y no es necesario utilizar todos los tipos de piezas. Explique por qué, independientemente de cuántas filas y cuántas columnas tenga el tablero de Ana, Beto siempre puede completar su tarea.

Sea $G$ el centroide del triángulo $ABC$. Encuentre el $\alpha$ más grande tal que existe un triángulo para el cual hay al menos tres ángulos entre $\angle GAB, \angle GAC, \angle GBA, \angle GBC, \angle GCA, \angle GCB$ que son $\geq \alpha$.

Tenemos una tabla de $m\times n$ cubierta con franjas de $3\times 1$ y se nos da que $6 | mn$. Demuestre que existe una teselación de la tabla con dominós de $2\times 1$ tal que cada una de estas franjas contiene un dominó entero.

Se dan diez números reales positivos distintos y se escribe la suma de cada par (entonces 45 sumas). Entre estas sumas hay 5 números iguales. Si calculamos el producto de cada par, encuentre el número más grande $k$ tal que puede haber $k$ números iguales entre ellos.

El entero positivo $d$ no es un cuadrado perfecto. Para cada entero positivo $n$, sea $s(n)$ el número de dígitos $1$ entre los primeros $n$ dígitos en la representación binaria de $\sqrt{d}$ (incluyendo los dígitos antes del punto). Demuestre que existe un entero $A$ tal que $s(n)>\sqrt{2n}-2$ para todos los enteros $n\ge A$.

Los círculos $\Omega$ y $\Gamma$ se intersecan en los puntos $A$ y $B$. La línea que contiene sus centros interseca a $\Omega$ y $\Gamma$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente, de tal manera que estos puntos se encuentran en el mismo lado de la línea $AB$ y el punto $Q$ está más cerca de $AB$ que el punto $P$. El círculo $\delta$ se encuentra en el mismo lado de la línea $AB$ que $P$ y $Q$, toca el segmento $AB$ en el punto $D$ y toca a $\Gamma$ en el punto $T$. La línea $PD$ interseca a $\delta$ y $\Omega$ nuevamente en los puntos $K$ y $L$, respectivamente. Demuestre que $\angle QTK=\angle DTL$.

En un alfabeto de $n$ letras, una $sílaba$ es cualquier par ordenado de dos letras (no necesariamente distintas). Algunas sílabas se consideran $indecentes$. Una $palabra$ es cualquier secuencia, finita o infinita, de letras, que no contiene sílabas indecentes. Encuentre el menor número posible de sílabas indecentes para las cuales no existen palabras infinitas.

Determine si existe una secuencia infinita $a_0, a_1, a_2, a_3,...$ de enteros no negativos que satisface las siguientes condiciones: (i) Todos los enteros no negativos aparecen en la secuencia exactamente una vez. (ii) La sucesión $b_n=a_{n}+n,$ , $n\geq0$ , está formada por todos los números primos y cada uno aparece exactamente una vez.

La circunferencia inscrita del triángulo $ABC$ toca los lados $BC$ , $AC$ , y $AB$ en $D, E$ , y $F$ respectivamente. Sean $\omega_a, \omega_b$ y $\omega_c$ las circunferencias circunscritas de los triángulos $EAF, DBF$ , y $DCE$ , respectivamente. Las líneas $DE$ y $DF$ cortan a $\omega_a$ en $E_a\neq{E}$ y $F_a\neq{F}$ , respectivamente. Sea $r_A$ la línea $E_{a}F_a$ . Sean $r_B$ y $r_C$ definidos análogamente. Demuestre que las líneas $r_A$ , $r_B$ , y $r_C$ determinan un triángulo con sus vértices en los lados del triángulo $ABC$ .

Pablo y Silvia juegan en un tablero de $2010 \times 2010$. Para comenzar el juego, Pablo escribe un entero en cada celda. Después de que termina, Silvia repite la siguiente operación tantas veces como quiera: elige tres celdas que forman una $L$ , como en la figura de abajo, y suma $1$ a cada uno de los números en estas tres celdas. Silvia gana si, después de hacer la operación muchas veces, todos los números en el tablero son múltiplos de $10$ . Demuestre que Silvia siempre puede ganar. $\begin{array}{|c|c} \cline{1-1} \; & \; \\ \hline \; & \multicolumn{1}{|c|}{\;} \\ \hline \end{array} \qquad \begin{array}{c|c|} \cline{2-2} \; & \; \\ \hline \multicolumn{1}{|c|}{\;} & \; \\ \hline \end{array} \qquad \begin{array}{|c|c} \hline \; & \multicolumn{1}{|c|}{\;} \\ \hline \multicolumn{1}{|c|}{\;} & \; \\ \cline{1-1} \end{array} \qquad \begin{array}{c|c|} \hline \multicolumn{1}{|c|}{\;} & \; \\ \hline \; & \multicolumn{1}{|c|}{\;} \\ \cline{2-2} \end{array}$