Determinar todos los enteros $k$ tales que existen infinitos enteros positivos $n$ que no satisfacen \[n+k |\binom{2n}{n}\]

$1650$ estudiantes están organizados en $22$ filas y $75$ columnas. Se sabe que en cualesquiera dos columnas, el número de pares de estudiantes en la misma fila y del mismo sexo no es mayor que $11$. Demostrar que el número de chicos no es mayor que $928$.

Los números no negativos $x_1, x_2, \ldots, x_5$ satisfacen $ \sum_{i = 1}^5 \frac {1}{1 + x_i} = 1$. Demostrar que $ \sum_{i = 1}^5 \frac {x_i}{4 + x_i^2} \leq 1$.

Un círculo puede ser inscrito en el cuadrilátero convexo $ABCD$. El incírculo toca los lados $AB, BC, CD, DA$ en $A_1, B_1, C_1, D_1$ respectivamente. Los puntos $E, F, G, H$ son los puntos medios de $A_1B_1, B_1C_1, C_1D_1, D_1A_1$ respectivamente. Demostrar que el cuadrilátero $EFGH$ es un rectángulo si y sólo si $A, B, C, D$ son concíclicos.

La sucesión $ \{a_n\}$ satisface $ a_0 = 0, a_{n + 1} = ka_n + \sqrt {(k^2 - 1)a_n^2 + 1}, n = 0, 1, 2, \ldots$ , donde $k$ es un entero positivo fijo. Demostrar que todos los términos de la sucesión son integrales y que $2k$ divide a $a_{2n}, n = 0, 1, 2, \ldots$.

Colocar los números $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ en los vértices de un cuboide de tal manera que la suma de cualesquiera $3$ números en un lado no sea menor que $10$. Encontrar la suma posible más pequeña de los 4 números en un lado.

Hay 1997 piezas de medicina. Tres botellas $A, B, C$ pueden contener como máximo 1997, 97, 19 piezas de medicina respectivamente. Al principio, las 1997 piezas se colocan en la botella $A$ , y las tres botellas están cerradas. Cada pieza de medicina se puede dividir en 100 partes. Cuando se abre una botella, todas las piezas de medicina en esa botella pierden una parte cada una. Un hombre desea consumir toda la medicina. Sin embargo, solo puede abrir cada una de las botellas como máximo una vez al día, consumir una pieza de medicina, mover algunas piezas entre las botellas y cerrarlas. ¿Al menos cuántas partes se perderán cuando termine de consumir toda la medicina?

Sea $n$ un número natural mayor que 6. $X$ es un conjunto tal que $|X| = n$ . $A_1, A_2, \ldots, A_m$ son subconjuntos distintos de 5 elementos de $X$ . Si $m > \frac{n(n - 1)(n - 2)(n - 3)(4n - 15)}{600}$ , pruebe que existen $A_{i_1}, A_{i_2}, \ldots, A_{i_6}$ $(1 \leq i_1 < i_2 < \cdots, i_6 \leq m)$ , tal que $\bigcup_{k = 1}^6 A_{i_k} = 6$ .

Encuentre todos los polinomios de coeficientes reales $f(x)$ que satisfacen las siguientes condiciones: i. $f(x) = a_0 x^{2n} + a_2 x^{2n - 2} + \cdots + a_{2n - 2}\nx^2 + a_{2n}, a_0 > 0$ ; ii. $\sum_{j=0}^n a_{2j} a_{2n - 2j} \leq \left(\n\begin{array}{c}\n2n\nn\end{array} \right) a_0 a_{2n}$ ; iii. Todas las raíces de $f(x)$ son números imaginarios sin parte real.

Sea P un punto interior de un n-gono regular $ A_1 A_2 ...A_n$ , las líneas $ A_i P$ se encuentran con el n-gono regular en otro punto $ B_i$ , donde $ i=1,2,...,n$ . Demuestre que la suma de todos los $ PA_i\geq$ la suma de todos los $ PB_i$ .