En un triángulo $ABC$ , la altura desde $A$ se encuentra con la circunferencia circunscrita nuevamente en $T$ . Sea $O$ el circuncentro. Las líneas $OA$ y $OT$ intersecan el lado $BC$ en $Q$ y $M$ , respectivamente. Demuestra que \[\frac{S_{AQC}}{S_{CMT}} = \biggl( \frac{ \sin B}{\cos C} \biggr)^2 .\]

Encuentra todos los números naturales $m$ tales que \[1! \cdot 3! \cdot 5! \cdots (2m-1)! = \biggl( \frac{m(m+1)}{2}\biggr) !.\]

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo inscrito en un círculo $\omega$ con centro $O$. Los puntos $E$, $F$ se encuentran en su lado $AC$, $AB$, respectivamente, tal que $O$ se encuentra en $EF$ y $BCEF$ es cíclico. Sean $R$, $S$ las intersecciones de $EF$ con los arcos más cortos $AB$, $AC$ de $\omega$, respectivamente. Suponga que $K$, $L$ son la reflexión de $R$ sobre $C$ y la reflexión de $S$ sobre $B$, respectivamente. Suponga que los puntos $P$ y $Q$ se encuentran en las líneas $BS$ y $RC$, respectivamente, tal que $PK$ y $QL$ son perpendiculares a $BC$. Demuestra que el círculo con centro $P$ y radio $PK$ es tangente a la circunferencia circunscrita de $RCE$ si y solo si el círculo con centro $Q$ y radio $QL$ es tangente a la circunferencia circunscrita de $BFS$.

Sea $ABCD$ un trapecio con $AB\parallel CD$. Sus diagonales se intersecan en un punto $P$. La línea que pasa por $P$ paralela a $AB$ interseca $AD$ y $BC$ en $Q$ y $R$, respectivamente. Las bisectrices de los ángulos exteriores de los ángulos $DBA$, $DCA$ se intersecan en $X$. Sea $S$ el pie de $X$ sobre $BC$. Demuestra que si los cuadriláteros $ABPQ$, $CDQP$ están circunscritos, entonces $PR=PS$.

En el triángulo $ABC$ $(\angle A\neq 90^\circ)$, sean $O$, $H$ el circuncentro y el pie de la altura desde $A$ respectivamente. Suponga que $M$, $N$ son los puntos medios de $BC$, $AH$ respectivamente. Sea $D$ la intersección de $AO$ y $BC$ y sea $H'$ el reflejo de $H$ sobre $M$. Suponga que la circunferencia circunscrita de $OH'D$ interseca la circunferencia circunscrita de $BOC$ en $E$. Demuestra que $NO$ y $AE$ son concurrentes en la circunferencia circunscrita de $BOC$.

Se da un triángulo acutángulo $ABC$ con $AB\neq AC$. Sea $D$ un punto de $BC$ tal que $DA$ es tangente a la circunferencia circunscrita de $ABC$. Sean $E$ y $F$ los circuncentros de los triángulos $ABD$ y $ACD$, respectivamente, y sea $M$ el punto medio de $EF$. Demuestra que la línea tangente a la circunferencia circunscrita de $AMD$ a través de $D$ también es tangente a la circunferencia circunscrita de $ABC$.

Cuatro puntos $A$, $B$, $C$ y $D$ se encuentran en un círculo $\omega$ tal que $AB=BC=CD$. La línea tangente a $\omega$ en el punto $C$ interseca la línea tangente a $\omega$ en $A$ y la línea $AD$ en $K$ y $L$. El círculo $\omega$ y la circunferencia circunscrita del triángulo $KLA$ se intersectan nuevamente en $M$. Demuestra que $MA=ML$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero inscrito en un círculo $\omega$ con centro $O$. Sea $P$ la intersección de las dos diagonales $AC$ y $BD$. Sea $Q$ un punto que se encuentra en el segmento $OP$. Sean $E$ y $F$ las proyecciones ortogonales de $Q$ sobre las líneas $AD$ y $BC$, respectivamente. Los puntos $M$ y $N$ se encuentran en la circunferencia circunscrita del triángulo $QEF$ tal que $QM \parallel AC$ y $QN \parallel BD$. Demuestra que las dos líneas $ME$ y $NF$ se encuentran en la bisectriz perpendicular del segmento $CD$.

Llamamos a dos polígonos simples $P, Q$ $\textit{compatibles}$ si existe un entero positivo $k$ tal que cada uno de $P, Q$ puede ser particionado en $k$ polígonos congruentes similares al otro. Demuestra que para cada dos enteros pares $m, n \geq 4$, hay dos polígonos compatibles con $m$ y $n$ lados. (Un polígono simple es un polígono que no se intersecta a sí mismo.)

Sea $O$ el circuncentro del triángulo $ABC$. Puntos arbitrarios $M$ y $N$ se encuentran en los lados $AC$ y $BC$, respectivamente. Los puntos $P$ y $Q$ se encuentran en el mismo semiplano que el punto $C$ con respecto a la línea $MN$, y satisfacen $\triangle CMN \sim \triangle PAN \sim \triangle QMB$ (en este orden exacto). Demuestra que $OP=OQ$.