El punto $M$ se encuentra dentro del triángulo $ABC$. Demostrar que para cualquier otro punto $N$ que se encuentre dentro del triángulo $ABC$, al menos una de las siguientes tres desigualdades se cumple: $AN>AM, BN>BM, CN>CM$.

Se considera el conjunto de números $M=\{4k-3 | k\in N\}$. Un número de este conjunto se llama 'simple' si es imposible ponerlo en la forma de un producto de números de $M$ distintos de $1$. Demostrar que en este conjunto, la descomposición de números en el producto de factores 'simples' es ambigua.

El Mundial de América introdujo un nuevo sistema de puntos. Por una victoria se dan $3$ puntos, por un empate $1$ punto y por una derrota $0$ puntos. En los juegos preliminares, los equipos se dividen en grupos de $4$ equipos. En grupos, los equipos juegan entre sí, una vez, luego de acuerdo con los puntos anotados $a,b,c$ y $d$ ( $a>b>c>d$ ) los equipos toman el primer, segundo, tercer y cuarto lugar en sus grupos. Dar todas las posibles opciones para la distribución de puntos $a,b,c$ y $d$

Sea $k$ un entero positivo fijo. Para cada $n = 1, 2,...,$ llamaremos configuración de orden $n$ a cualquier conjunto de $kn$ puntos del plano, que no contiene $3$ colineales, coloreados con $k$ colores dados, de modo que haya $n$ puntos de cada color. Determina todos los enteros positivos $n$ con la siguiente propiedad: en cada configuración de orden $n$ , es posible seleccionar tres puntos de cada color, tales que los $k$ triángulos con vértices del mismo color que se determinan son disjuntos por pares.

Decimos que $M$ es el punto medio de la poligonal abierta $XYZ$ , formada por los segmentos $XY, YZ$ , si $M$ pertenece a la poligonal y divide su longitud por la mitad. Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$ . Sean $A_1, B_1,C_1,A_2, B_2,C_2$ los puntos medios de las poligonales abiertas $CAB, ABC, BCA, BHC, CHA, AHB$ , respectivamente. Muestra que las rectas $A_1 A_2, B_1B_2$ y $C_1C_2$ son concurrentes.

Sea $M$ un subconjunto de $\{1,2,..., 1998\}$ con $1000$ elementos. Demuestra que siempre es posible encontrar dos elementos $a$ y $b$ en $M$ , no necesariamente distintos, tales que $a + b$ es una potencia de $2$ .

Sea $X$ un conjunto finito de enteros positivos. Demuestra que para cada subconjunto $A$ de $X$ , existe un subconjunto $B$ de $X$ , con la siguiente propiedad: Para cada elemento $ e$ de $X$ , $e$ divide a un número impar de elementos de $B$ , si y solo si $e$ es un elemento de $A$ .

Dado un entero $n > 2$ , considera todas las sucesiones $x_1,x_2,...,x_n$ de números reales no negativos tales que $$x_1+ 2x_2 + ... + nx_n = 1.$$ Encuentra el valor máximo y el valor mínimo de $x_1^2+x_2^2+...+x_n^2$ y determina todas las sucesiones $x_1,x_2,...,x_n$ para las cuales se obtienen estos valores.

Considera un arco $AB$ de una circunferencia $C$ y un punto $P$ variable en ese arco $AB$ . Sea $D$ el punto medio del arco $AP$ que no contiene a $B$ y sea $E$ el punto medio del arco $BP$ que no contiene a $A$ . Sea $C_1$ la circunferencia con centro $D$ que pasa por $A$ y $C_2$ la circunferencia con centro $E$ que pasa por $B.$ Demuestra que la recta que contiene los puntos de intersección de $C_1$ y $C_2$ pasa por un punto fijo.

Sea $P(x)$ un polinomio no constante de grado $n$ con coeficientes racionales que no puede ser presentado como un producto de dos polinomios no constantes con coeficientes racionales. Demuestra que el número de polinomios $Q(x)$ de grado menor que $n$ con coeficientes racionales tales que $P(x)$ divide a $P(Q(x))$ a) es finito b) no excede $n$ .