Para enteros $n>1$ , definir $f(n)$ como la suma de todos los divisores positivos de $n$ que son menores que $n$ . Demostrar que para cualquier entero positivo $k$ , existe un entero positivo $n>1$ tal que $n<f(n)<f^2(n)<\cdots<f^k(n)$ , donde $f^i(n)=f(f^{i-1}(n))$ para $i>1$ y $f^1(n)=f(n)$ .

Encontrar todos los números reales positivos $\lambda$ tales que para todos los enteros $n\geq 2$ y todos los números reales positivos $a_1,a_2,\cdots,a_n$ con $a_1+a_2+\cdots+a_n=n$ , la siguiente desigualdad se cumple: $\sum_{i=1}^n\frac{1}{a_i}-\lambda\prod_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i}\leq n-\lambda$ .

Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo, y sea $D$ la proyección de $A$ en $BC$ . Sean $M,N$ los puntos medios de $AB$ y $AC$ respectivamente. Sean $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ las circunferencias circunscritas a $\triangle BDM$ y $\triangle CDN$ respectivamente, y sea $K$ el otro punto de intersección de $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ . Sea $P$ un punto arbitrario en $BC$ y $E,F$ están en $AC$ y $AB$ respectivamente tales que $PEAF$ es un paralelogramo. Demostrar que si $MN$ es una línea tangente común de $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ , entonces $K,E,A,F$ son concíclicos.

Sea $k>1$ un entero, sea $n=2^{k+1}$ . Demostrar que para cualquier entero positivo $a_1<a_2<\cdots<a_n$ , el número $\prod_{1\leq i<j\leq n}(a_i+a_j)$ tiene al menos $k+1$ divisores primos diferentes.

Dado un entero positivo $n$ , encontrar el mayor número real $\lambda=\lambda(n)$ , tal que para cualquier polinomio de grado $n$ con coeficientes complejos $f(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_0$ , y cualquier permutación $x_0,x_1,\cdots,x_n$ de $0,1,\cdots,n$ , la siguiente desigualdad se cumple $\sum_{k=0}^n|f(x_k)-f(x_{k+1})|\geq \lambda |a_n|$ , donde $x_{n+1}=x_0$ .

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $A,B,C,D$ concíclicos. Asumir que $\angle ADC$ es agudo y $\frac{AB}{BC}=\frac{DA}{CD}$ . Sea $\Gamma$ un círculo que pasa por $A$ y $D$ , tangente a $AB$ , y sea $E$ un punto en $\Gamma$ y dentro de $ABCD$ . Demostrar que $AE\perp EC$ si y solo si $\frac{AE}{AB}-\frac{ED}{AD}=1$ .

Sea $A$ un conjunto finito, y $A_1,A_2,\cdots, A_n$ son subconjuntos de $A$ con las siguientes condiciones:\n(1) $|A_1|=|A_2|=\cdots=|A_n|=k$ , y $k>\frac{|A|}{2}$ ;\n(2) para cualquier $a,b\in A$ , existen $A_r,A_s,A_t\,(1\leq r<s<t\leq n)$ tales que $a,b\in A_r\cap A_s\cap A_t$ ;\n(3) para cualquier entero $i,j\, (1\leq i<j\leq n)$ , $|A_i\cap A_j|\leq 3$ .\nEncontrar todos los valores posibles de $n$ cuando $k$ alcanza el máximo entre todos los sistemas posibles $(A_1,A_2,\cdots, A_n,A)$ .

Sea $M=\{1,2,\cdots,n\}$ , cada elemento de $M$ está coloreado en rojo, azul o amarillo. Sea $A=\{(x,y,z)\in M\times M\times M|x+y+z\equiv 0\mod n$ , $x,y,z$ son del mismo color $\},$ $B=\{(x,y,z)\in M\times M\times M|x+y+z\equiv 0\mod n,$ $x,y,z$ son de color por pares distintos $\}.$ Demostrar que $2|A|\geq |B|$ .

Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo con $AB>AC$ , sea $I$ el centro del incírculo. Sean $M,N$ los puntos medios de $AC$ y $AB$ respectivamente. $D,E$ están en $AC$ y $AB$ respectivamente tales que $BD\parallel IM$ y $CE\parallel IN$ . Una línea que pasa por $I$ paralela a $DE$ interseca a $BC$ en $P$ . Sea $Q$ la proyección de $P$ en la línea $AI$ . Demostrar que $Q$ está en la circunferencia circunscrita a $\triangle ABC$ .

Demuestre que cada entero positivo $n$ , excepto un número finito de ellos, puede representarse como una suma de $2004$ enteros positivos: $n=a_1+a_2+\cdots +a_{2004}$ , donde $1\le a_1<a_2<\cdots <a_{2004}$ , y $a_i \mid a_{i+1}$ para todo $1\le i\le 2003$ .