Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$. El círculo con centro en $I$ que pasa por $B$ interseca a $AC$ en los puntos $E$ y $F$, con $E$ y $F$ entre $A$ y $C$ y distintos entre sí. El círculo circunscrito al triángulo $IEF$ interseca a los segmentos $EB$ y $FB$ en $Q$ y $R$, respectivamente. La línea $QR$ interseca a los lados $A B$ y $B C$ en $P$ y $S$, respectivamente. Si $a, b$ y $c$ son las medidas de los lados $B C, CA$ y $A B$, respectivamente, calcule las medidas de $B P$ y $B S$.

Determinar los valores de $n \in N$ tal que un cuadrado de lado $n$ puede ser dividido en un cuadrado de lado $1$ y cinco rectángulos cuyas medidas de sus lados son $10$ números naturales distintos y todos mayores que $1$.

Encuentra todos los enteros positivos $n$ para los cuales existen enteros positivos $x_1, x_2, \dots, x_n$ tales que $$ \frac{1}{x_1^2}+\frac{2}{x_2^2}+\frac{2^2}{x_3^2}+\cdots +\frac{2^{n-1}}{x_n^2}=1.$$

Sea $ABC$ un triángulo escaleno acutángulo con circuncírculo $\omega$ e incentro $I$ . Suponga que el ortocentro $H$ de $BIC$ se encuentra dentro de $\omega$ . Sea $M$ el punto medio del arco más largo $BC$ de $\omega$ . Sea $N$ el punto medio del arco más corto $AM$ de $\omega$ . Demuestre que existe un círculo tangente a $\omega$ en $N$ y tangente a los circuncírculos de $BHI$ y $CHI$ .

Llamamos a un entero positivo $N$ contagioso si hay $1000$ enteros no negativos consecutivos tales que la suma de todos sus dígitos es $N$ . Encuentra todos los enteros positivos contagiosos.

Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de enteros positivos. Determine todos los enteros positivos $k$ para los cuales existen funciones $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ y $g: \mathbb{N}\to \mathbb{N}$ tal que $g$ asume infinitos valores y tal que $$ f^{g(n)}(n)=f(n)+k$$ se cumple para cada entero positivo $n$ . (Observación. Aquí, $f^{i}$ denota la función $f$ aplicada $i$ veces i.e $f^{i}(j)=f(f(\dots f(j)\dots ))$ . )

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $X$ un punto en el plano de este triángulo. Sean $M,N,P$ las proyecciones ortogonales de $X$ en las líneas que contienen las alturas de este triángulo. Determine las posiciones del punto $X$ tales que el triángulo $MNP$ es congruente a $ABC$.

Sea $n$ un número natural $n>3$. Demuestra que en los múltiplos de $9$ menores que $10^n$, existen más números con la suma de sus dígitos igual a $9(n - 2)$ que números con la suma de sus dígitos igual a $9(n - 1)$.

Considera un tablero con $n$ filas y $4$ columnas. En la primera línea están escritos $4$ ceros (uno en cada casilla). Luego, cada línea se obtiene de la línea anterior realizando la siguiente operación: una de las casillas (que puedes elegir) se mantiene como en la línea anterior; las otras tres se cambian: * si en la línea anterior había un $0$, entonces en el cuadrado de abajo se coloca un $1$; * si en la línea anterior había un $1$, entonces en el cuadrado de abajo se coloca un $2$; * si en la línea anterior había un $2$, entonces en el cuadrado de abajo se coloca un $0$; Construye el tablero más grande posible con todas sus líneas distintas y demuestra que es imposible construir un tablero más grande.

Demuestra que existen infinitas triples $(a, b, c)$ donde $a, b, c$ son números naturales, tales que: $2a^2 + 3b^2 - 5c^2 = 1997$