Consideramos un punto $P$ en un plano $p$ y un punto $Q \not\in p$. Determina todos los puntos $R$ de $p$ para los cuales \[ \frac{QP+PR}{QR} \] es máximo.

Sean $ a$ y $ b$ dos enteros positivos tales que $ a \cdot b + 1$ divide a $ a^{2} + b^{2}$ . Muestra que $ \frac {a^{2} + b^{2}}{a \cdot b + 1}$ es un cuadrado perfecto.

Un náufrago está construyendo una balsa rectangular $ABCD$ . Fija un mástil perpendicular a la balsa, con cuerdas que pasan desde la parte superior del mástil (punto $S$ en la figura) hasta las cuatro esquinas de la balsa. La cuerda $SA$ mide $8$ metros, la cuerda $SB$ mide $2$ metros y la cuerda $SC$ mide $14$ metros. Calcula la longitud de la cuerda $SD$ .

Sea $\mathbb{S}$ el conjunto de números primos que son menores o iguales a 26. ¿Existen $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6 \in \mathbb{N}$ tales que $$ gcd(a_i,a_j) \in \mathbb{S} \qquad \text {para } 1\leq i \ne j \leq 6$$ y para cada elemento $p$ de $\mathbb{S}$ existe un par de $ 1\leq k \ne l \leq 6$ tal que $$s=gcd(a_k,a_l)?$$

En una secuencia $a_1, a_2, ..$ de números reales, el producto $a_1a_2$ es negativo, y para definir $a_n$ para $n > 2$, se elige un par $(i, j)$ entre todos los pares $(i, j), 1 \le i < j < n$, no elegidos antes, de modo que $a_i +a_j$ tenga el valor absoluto mínimo, y luego $a_n$ se establece igual a $a_i + a_j$. Demuestra que $|a_i| < 1$ para algún $i$.

Andy, Bess, Charley y Dick juegan en un tablero de $1000 \times 1000$. Hacen movimientos por turnos: Andy primero, luego Bess, luego Charley y finalmente Dick, después de eso Andy se mueve de nuevo y así sucesivamente. En cada movimiento, un jugador debe pintar varios cuadrados sin pintar formando un rectángulo de $2 \times 1, 1 \times 2, 1 \times 3$ o $3 \times 1$. El jugador que no puede moverse pierde. Demuestra que algunos tres jugadores pueden cooperar para hacer perder al cuarto jugador.

Un círculo $\omega$ toca los lados $A$ B y $BC$ de un triángulo $ABC$ e intersecta su lado $AC$ en $K$. Se sabe que la tangente a $\omega$ en $K$ es simétrica a la línea $AC$ con respecto a la línea $BK$. ¿Cuál puede ser la diferencia $AK -CK$ si $AB = 9$ y $BC = 11$?

Sea $\mathbb{S}$ el conjunto de números primos que son menores o iguales a 26. ¿Existen $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6 \in \mathbb{N}$ tales que $$ gcd(a_i,a_j) \in \mathbb{S} \qquad \text {para } 1\leq i \ne j \leq 6$$ y para cada elemento $p$ de $\mathbb{S}$ existe un par de $ 1\leq k \ne l \leq 6$ tal que $$s=gcd(a_k,a_l)?$$

¿Es posible dibujar en el plano el gráfico presentado en la figura de modo que todos los vértices sean puntos diferentes y todos los bordes sean segmentos unitarios? (Los segmentos pueden intersectarse en puntos diferentes de los vértices).

Una cuota de diplomas en la Olimpiada Rusa debe ser estrictamente menor al $45\%$. Más de $20$ estudiantes participaron en la olimpiada. Después de la olimpiada, las Autoridades declararon los resultados bajos porque la cuota de diplomas fue significativamente menor al $45\%$. El Jurado respondió que la cuota ya era máxima posible en esta olimpiada o en cualquier otra olimpiada con un número menor de participantes. Entonces las Autoridades ordenaron aumentar el número de participantes para la próxima olimpiada de modo que la cuota de diplomas se acercara al menos dos veces más al $45\%$. Demuestra que el número de participantes debe al menos duplicarse.