Sean $a, b, c$ las longitudes de los lados y $P$ el área de un triángulo, respectivamente. Demostrar que \[(a^2+b^2+c^2-4\sqrt 3 P) (a^2+b^2+c^2) \geq 2 \left(a^2(b - c)^2 + b^2(c - a)^2 + c^2(a - b)^2\right).\]

Pruebe que existe un 1990-gono convexo con las siguientes dos propiedades:\na.) Todos los ángulos son iguales.\nb.) Las longitudes de los 1990 lados son los números $1^2$, $2^2$, $3^2$, $\cdots$, $1990^2$ en algún orden.

Dado un entero inicial $n_0 > 1$, dos jugadores, ${\mathcal A}$ y ${\mathcal B}$, eligen enteros $n_1$, $n_2$, $n_3$, $\ldots$ alternativamente de acuerdo con las siguientes reglas:\nI.) Conociendo $n_{2k}$, ${\mathcal A}$ elige cualquier entero $n_{2k + 1}$ tal que \[ n_{2k} \leq n_{2k + 1} \leq n_{2k}^2. \]\nII.) Conociendo $n_{2k + 1}$, ${\mathcal B}$ elige cualquier entero $n_{2k + 2}$ tal que \[ \frac {n_{2k + 1}}{n_{2k + 2}} \] es un primo elevado a una potencia entera positiva. El jugador ${\mathcal A}$ gana el juego al elegir el número 1990; el jugador ${\mathcal B}$ gana al elegir el número 1. Para qué $n_0$ :\na.) ${\mathcal A}$ tiene una estrategia ganadora?\nb.) ${\mathcal B}$ tiene una estrategia ganadora?\nc.) Ninguno de los jugadores tiene una estrategia ganadora?

Sea ${\mathbb Q}^ +$ el conjunto de números racionales positivos. Construya una función $f : {\mathbb Q}^ + \rightarrow {\mathbb Q}^ +$ tal que \[ f(xf(y)) = \frac {f(x)}{y} \] para todo $x$, $y$ en ${\mathbb Q}^ +$.

Para cada entero positivo fijo $n$ , $n\geq 4$ y $P$ un entero, sea $(P)_n \in [1, n]$ el residuo positivo más pequeño de $P$ módulo $n$ . Dos secuencias $a_1, a_2, \dots, a_k$ y $b_1, b_2, \dots, b_k$ con los términos en $[1, n]$ se definen como equivalentes, si existe $t$ entero positivo, mcd $(t,n)=1$ , tal que la secuencia $(ta_1)_n, \dots, (ta_k)_n$ es una permutación de $b_1, b_2, \dots, b_k$ . Sea $\alpha$ una secuencia de tamaño $n$ y sus términos están en $[1, n]$ , tal que cada término aparece $h$ veces en la secuencia $\alpha$ y $2h\geq n$ . Demuestre que $\alpha$ es equivalente a alguna secuencia $\beta$ que contiene una subsecuencia tal que su tamaño es (a lo sumo) igual a $h$ y su suma es exactamente igual a $n$ .

¿Existe un número $n$ tal que uno pueda escribir $n$ como la suma de $2017$ cuadrados perfectos y (con al menos) $2017$ maneras distintas?

Uno tiene $n$ círculos distintos (con el mismo radio) tal que para cualquier $k+1$ círculos hay (al menos) dos círculos que se intersecan en dos puntos. Demuestre que para cada línea $l$ uno puede hacer $k$ líneas, cada una paralela a $l$ , tal que cada círculo tiene (al menos) un punto de intersección con alguna de estas líneas.

Encuentra todos los $a , b , c \in \mathbb{N}$ para los cuales \[1997^a+15^b=2012^c\]

Si $a$ , $b$ , $c$ , $d$ son enteros y $A=2(a-2b+c)^4+2(b-2c+a)^4+2(c-2a+b)^4$ , $B=d(d+1)(d+2)(d+3)+1$ , entonces prueba que $\left (\sqrt{A}+1 \right )^2 +B$ no puede ser un cuadrado perfecto.

Encuentra todos los enteros positivos $x,y,z$ y $t$ tales que $2^x3^y+5^z=7^t$ .