Encuentra todos los números primos $p$ y $q$ tales que $$1 + \frac{p^q - q^p}{p + q}$$ es un número primo.

Sea $\triangle ABC$ un triángulo rectángulo con $\angle BAC = 90^{\circ}$ y sea $E$ el pie de la perpendicular desde $A$ a $BC$ . Sea $Z \ne A$ un punto en la línea $AB$ con $AB = BZ$ . Sea $(c)$ la circunferencia circunscrita del triángulo $\triangle AEZ$ . Sea $D$ el segundo punto de intersección de $(c)$ con $ZC$ y sea $F$ el punto antidiametral de $D$ con respecto a $(c)$ . Sea $P$ el punto de intersección de las líneas $FE$ y $CZ$ . Si la tangente a $(c)$ en $Z$ se encuentra con $PA$ en $T$ , demuestre que los puntos $T$ , $E$ , $B$ , $Z$ son concíclicos.

Encuentre todos los enteros positivos $a$ , $b$ , $c$ , y $p$ , donde $p$ es un número primo, tal que $73p^2 + 6 = 9a^2 + 17b^2 + 17c^2$ .

Determine si existe un número natural $n$ para el cual $8^n + 47$ es primo.

En el plano coordenado, llamamos a un punto $(x, y)$ 'punto reticular' si tanto $x$ como $y$ son enteros. Sabiendo que los vértices del triángulo $ABC$ son todos puntos reticulares, y que existe exactamente un punto reticular interior al triángulo $ABC$ (podría haber puntos reticulares en los lados de $ABC$). Demuestra que el área del triángulo $ABC$ no es mayor que $\frac 92.$

Las longitudes de los lados de dos equiláteros $ABC$ y $KLM$ son $1$ y $1/4$, respectivamente. Y el triángulo $KLM$ está ubicado dentro del triángulo $ABC$. Denotemos por $\Sigma$ la suma de las distancias desde $A$ a las líneas $KL, LM$ y $MK$. Encuentra la ubicación del triángulo $KLM$ cuando $\Sigma$ es máxima.

Demuestra que en el plano coordenado es imposible dibujar una línea quebrada cerrada tal que (i) las coordenadas de cada vértice son racionales; (ii) la longitud de cada uno de sus bordes es 1; (iii) la línea tiene un número impar de vértices.

Dado un tablero de ajedrez de $10 \times 10$ coloreado como blanco y negro alternativamente. Demuestra que para cualquier $46$ cuadrados unitarios sin bordes comunes, hay al menos $30$ cuadrados unitarios con el mismo color.

La secuencia $\{u_n\}$ está definida por $u_1 = 1, u_2 = 1, u_n = u_{n-1} + 2u_{n-2} \text{ para } n \geq 3$. Pruebe que para cualquier entero positivo $n, p \ (p > 1), u_{n+p} = u_{n+1}u_{p} + 2u_nu_{p-1}$. También encuentre el máximo común divisor de $u_n$ y $u_{n+3}.$

Sea $O$ un punto interior al triángulo $ABC$. A través de $O$, dibuje tres líneas $DE \parallel BC, FG \parallel CA$ , y $HI \parallel AB$ , donde $D, G$ están en $AB$ , $I, F$ están en $BC$ y $E, H$ están en $CA$. Denotemos por $S_1$ el área del hexágono $DGHEFI$ , y $S_2$ el área del triángulo $ABC$ . Demuestre que $S_1 \geq \frac 23 S_2.$