Un cuadrilátero $ABCD$ está inscrito en un círculo de centro $O$. Se sabe que las diagonales $AC$ y $BD$ son perpendiculares. En cada lado construimos semicírculos, externamente, como se muestra en la figura. a) Demuestre que los triángulos $AOB$ y $COD$ tienen áreas iguales. b) Si $AC=8$ cm y $BD= 6$ cm, determine el área de la región sombreada.

Una colección $F$ de subconjuntos distintos (no necesariamente no vacíos) de $X = \{1,2,\ldots,300\}$ es encantadora si para cualesquiera tres conjuntos (no necesariamente distintos) $A$ , $B$ y $C$ en $F$ a lo sumo tres de los siguientes ocho conjuntos son no vacíos \n\begin{align*}A \cap B \cap C, \ \ \ \overline{A} \cap B \cap C, \ \ \ A \cap \overline{B} \cap C, \ \ \ A \cap B \cap \overline{C}, \\ \overline{A} \cap \overline{B} \cap C, \ \ \ \overline{A} \cap B \cap \overline {C}, \ \ \ A \cap \overline{B} \cap \overline{C}, \ \ \ \overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}\n\end{align*} donde $\overline{S}$ denota el conjunto de todos los elementos de $X$ que no están en $S$ . ¿Cuál es el mayor número posible de conjuntos en una colección encantadora?

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AC > BC$ , con incírculo $\tau$ centrado en $I$ que toca a $BC$ y $AC$ en los puntos $D$ y $E$ , respectivamente. El punto $M$ en $\tau$ es tal que $BM \parallel DE$ y $M$ y $B$ se encuentran en el mismo semiplano con respecto a la bisectriz del ángulo $\angle ACB$ . Sean $F$ y $H$ las intersecciones de $\tau$ con $BM$ y $CM$ distintas de $M$ , respectivamente. Sea $J$ un punto en la línea $AC$ tal que $JM \parallel EH$ . Sea $K$ la intersección de $JF$ y $\tau$ distinta de $F$ . Demuestre que $ME \parallel KH$ .

Encuentre todos los pares $(x,y)$ de números reales positivos tales que $xy$ es un entero y $x+y = \lfloor x^2 - y^2 \rfloor$ .

Determine todos los enteros positivos $n$ para los cuales existen divisores positivos $a$ , $b$ , $c$ de $n$ tales que $a>b>c$ y $a^2 - b^2$ , $b^2 - c^2$ , $a^2 - c^2$ también son divisores de $n$ .

Hallar el menor número natural $ n$ tal que, si el conjunto $ \{1,2, \ldots, n\}$ se divide arbitrariamente en dos subconjuntos no intersecantes, entonces uno de los subconjuntos contiene 3 números distintos tales que el producto de dos de ellos es igual al tercero.

Sea $ f(n)$ una función definida en el conjunto de todos los enteros positivos y que tiene sus valores en el mismo conjunto. Suponga que $ f(f(n) + f(m)) = m + n$ para todos los enteros positivos $ n,m.$ Hallar el posible valor para $ f(1988).$

Considerar 2 círculos concéntricos de radios $ R$ y $ r$ ( $ R > r$ ) con centro $ O.$ Fijar $ P$ en el círculo pequeño y considerar la cuerda variable $ PA$ del círculo pequeño. Los puntos $ B$ y $ C$ están en el círculo grande; $ B,P,C$ son colineales y $ BC$ es perpendicular a $ AP.$ i.) ¿Para qué valores de $ \angle OPA$ la suma $ BC^2 + CA^2 + AB^2$ es extremal? ii.) ¿Cuáles son las posibles posiciones de los puntos medios $ U$ de $ BA$ y $ V$ de $ AC$ cuando $ \angle OPA$ varía?

En el pentágono convexo $ ABCDE,$ los lados $ BC, CD, DE$ son iguales. Además, cada diagonal del pentágono es paralela a un lado ( $ AC$ es paralelo a $ DE$ , $ BD$ es paralelo a $ AE$ etc.). Demostrar que $ ABCDE$ es un pentágono regular.

Demostrar que el conjunto de soluciones de la desigualdad \[ \sum^{70}_{k = 1} \frac {k}{x - k} \geq \frac {5}{4} \] es una unión de intervalos disjuntos, la suma de cuya longitud es 1988.