Considere un tablero de $m*n$. En cada casilla hay un número entero no negativo asignado. Una operación consiste en elegir dos casillas con $1$ lado en común, y sumar a estos $2$ números el mismo número entero (puede ser negativo), de forma que ambos resultados sean no negativos. ¿Qué condiciones deben satisfacerse inicialmente en la asignación de las casillas, para tener, después de algunas operaciones, el número $0$ en cada casilla?

En un $\triangle {ABC}$, considere un punto $E$ en $BC$ tal que $AE \perp BC$. Probar que $AE=\frac{bc}{2r}$, donde $r$ es el radio de la circunferencia circunscrita, $b=AC$ y $c=AB$.

Probar que no existen números enteros positivos $x,y,z$ tales que $x^2+y^2=3z^2$.

Sea $ABC$ un triángulo arbitrario ( $AB \neq BC \neq AC \neq AB$ ) Y O,I,H su circuncentro, incentro y ortocentro (punto de intersección de las alturas). Demuestra que 1) $\angle OIH > 90^0$ (2 puntos) 2) $\angle OIH >135^0$ (7 puntos) bolas para 1) y 2) no aditivas.

En cada vértice de un $n$ -gono regular se coloca exactamente una ficha. En cada $paso$ se pueden intercambiar dos fichas vecinas cualesquiera. Encuentra el menor número de pasos necesario para alcanzar la disposición donde cada ficha se mueve $[\frac{n}{2}]$ posiciones en el sentido de las agujas del reloj desde su posición inicial.

Los enteros positivos $1,2,...,n$ están escritos en una pizarra ( $n >2$ ). Cada minuto se borran dos números y se escribe el menor divisor primo de su suma. Al final, solo queda el número 97. Encuentra el menor $n$ para el que es posible.

Un rectángulo formado por las líneas de papel cuadriculado se divide en figuras de tres tipos: triángulos rectángulos isósceles (1) con base de dos unidades, cuadrados (2) con lado unitario y paralelogramos (3) formados por dos lados y dos diagonales de cuadrados unitarios (las figuras pueden estar orientadas de cualquier manera). Demuestra que el número de figuras del tercer tipo es par.

En un cuadrilátero cíclico $ABCD$ con $AB=AD$, los puntos $M$ y $N$ se encuentran en los lados $BC$ y $CD$ respectivamente, de modo que $MN=BM+DN$. Las líneas $AM$ y $AN$ se encuentran con la circunferencia circunscrita de $ABCD$ nuevamente en los puntos $P$ y $Q$ respectivamente. Demuestra que el ortocentro del triángulo $APQ$ se encuentra en el segmento $MN$.

Encuentra todos los primos $p,q$ tal que $p^3-q^7=p-q$.

Se dan dos tipos de mosaicos, representados en la figura siguiente. Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que un tablero de $n\times n$ que consta de $n^2$ cuadrados unitarios se puede cubrir sin huecos con estos dos tipos de mosaicos (se permiten rotaciones y reflejos) de modo que no se superpongan dos mosaicos y ninguna parte de ningún mosaico cubra un área fuera del tablero de $n\times n$.