Sea $ABC$ un triángulo para el cual $AB \neq AC$. Los puntos $K$, $L$, $M$ son los puntos medios de los lados $BC$, $CA$, $AB$. La circunferencia inscrita de $ABC$ con centro $I$ es tangente a $BC$ en $D$. Una línea que pasa por el punto medio de $ID$ perpendicular a $IK$ se encuentra con la línea $LM$ en $P$. Demostrar que $\angle PIA = 90 ^{\circ}$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo para el cual $AB \neq AC$, y sea $O$ su circuncentro. La línea $AO$ se encuentra con la circunferencia circunscrita de $ABC$ nuevamente en $D$, y la línea $BC$ en $E$. La circunferencia circunscrita de $CDE$ se encuentra con la línea $CA$ nuevamente en $P$. Las líneas $PE$ y $AB$ se intersecan en $Q$. La línea que pasa por $O$ paralela a la línea $PE$ se interseca con la $A$ - altura de $ABC$ en $F$. Demostrar que $FP = FQ$.

Un examen fue tomado por algunos estudiantes. Cada problema valía $1$ punto por la respuesta correcta y $0$ puntos por una incorrecta. Para cada pregunta, al menos un estudiante la respondió correctamente. Además, hay dos estudiantes con diferentes puntajes en el examen. Demostrar que existe una pregunta para la cual se cumple lo siguiente: El puntaje promedio de los estudiantes que respondieron la pregunta correctamente es mayor que el puntaje promedio de los estudiantes que no lo hicieron.

Se da un tablero de $8 \times 8$, con lados dirigidos de norte a sur y de este a oeste. Se divide en celdas de $1 \times 1$ de la manera habitual. En cada celda, hay como máximo una casa. Una casa ocupa solo una celda. Una casa está en la sombra si hay una casa en cada una de las celdas en los lados sur, este y oeste de su celda. En particular, ninguna casa ubicada en el lado sur, este u oeste del tablero está en la sombra. Hallar el número máximo de casas que se pueden colocar en el tablero de modo que ninguna casa esté en la sombra.

Sea $\mathbb{R}$ el conjunto de los reales. Hallar todas las funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que $$ f(x)f(y) = xf(f(y-x)) + xf(2x) + f(x^2) $$ para todo real $x, y$ .

Hallar todas las ternas $(a, b, c)$ de números reales tales que $$ a^2 + ab + c = 0, $$ $$b^2 + bc + a = 0, $$ $$c^2 + ca + b = 0.$$

Para cada $k= 1,2, \ldots$ sea $s_k$ el número de pares $(x,y)$ que satisfacen la ecuación $kx + (k+1)y = 1001 - k$ con $x$, $y$ enteros no negativos. Encuentra $s_1 + s_2 + \cdots + s_{200}$.

Alice y Bob juegan el siguiente juego. Comienza con un conjunto de $1000$ rectángulos de $1\times 2$. Un movimiento consiste en elegir dos rectángulos (un rectángulo puede consistir en uno o varios rectángulos de $1\times 2$ combinados) que comparten una longitud de lado común y combinar esos dos rectángulos en un rectángulo a lo largo de esos lados que comparten esa longitud común. El primer jugador que no puede hacer un movimiento pierde. Alice se mueve primero. Describir una estrategia ganadora para Bob.

Hallar todos los pares $(a,b)$ de enteros con $a>1$ y $b>1$ tales que $a$ divide a $b+1$ y $b$ divide a $a^3-1$.

Hallar todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que \[f(xy)=\max\{f(x+y),f(x) f(y)\} ] para todos los números reales $x$ e $y$.