Un triángulo anti-Pascal es un arreglo triangular equilátero de números tal que, excepto por los números en la fila inferior, cada número es el valor absoluto de la diferencia de los dos números inmediatamente debajo de él. Por ejemplo, el siguiente es un triángulo anti-Pascal con cuatro filas que contiene cada entero de $1$ a $10$ . \[\begin{array}{\nc@{\hspace{4pt}}c@{\hspace{4pt}}c@{\hspace{4pt}}c@{\hspace{2pt}}c@{\hspace{2pt}}c@{\hspace{4pt}}c\vspace{4pt} & & & 4 & & & \\\vspace{4pt} & & 2 & & 6 & & \\\vspace{4pt} & 5 & & 7 & & 1 & \\\vspace{4pt} 8 & & 3 & & 10 & & 9 \\\vspace{4pt}\end{array}\] ¿Existe un triángulo anti-Pascal con $2018$ filas que contenga cada entero de $1$ a $1 + 2 + 3 + \dots + 2018$ ?

Sea $n$ un entero positivo dado. Sísifo realiza una secuencia de turnos en un tablero que consta de $n + 1$ casillas en una fila, numeradas de $0$ a $n$ de izquierda a derecha. Inicialmente, se colocan $n$ piedras en la casilla $0$ , y las otras casillas están vacías. En cada turno, Sísifo elige cualquier casilla no vacía, digamos con $k$ piedras, toma una de estas piedras y la mueve a la derecha a lo sumo $k$ casillas (la piedra debe permanecer dentro del tablero). El objetivo de Sísifo es mover las $n$ piedras a la casilla $n$ . Demuestra que Sísifo no puede alcanzar el objetivo en menos de \[ \left \lceil \frac{n}{1} \right \rceil + \left \lceil \frac{n}{2} \right \rceil + \left \lceil \frac{n}{3} \right \rceil + \dots + \left \lceil \frac{n}{n} \right \rceil \] turnos. (Como es usual, $\lceil x \rceil$ representa el menor entero no menor que $x$ . )

Un sitio es cualquier punto $(x, y)$ en el plano tal que $x$ e $y$ son ambos enteros positivos menores o iguales a 20. Inicialmente, cada uno de los 400 sitios está desocupado. Amy y Ben se turnan para colocar piedras, comenzando Amy. En su turno, Amy coloca una nueva piedra roja en un sitio desocupado tal que la distancia entre dos sitios ocupados por piedras rojas no sea igual a $\sqrt{5}$ . En su turno, Ben coloca una nueva piedra azul en cualquier sitio desocupado. (Se permite que un sitio ocupado por una piedra azul esté a cualquier distancia de cualquier otro sitio ocupado). Se detienen tan pronto como un jugador no puede colocar una piedra. Encuentra el mayor $K$ tal que Amy puede asegurarse de colocar al menos $K$ piedras rojas, sin importar cómo Ben coloque sus piedras azules.

Sea $(a_i)_{i\in \mathbb{N}}$ una secuencia de enteros positivos, tal que para cualquier subconjunto finito no vacío $S$ de $\mathbb{N}$ , el entero $$\Pi_{k\in S} a_k -1$$ es primo. Demuestre que el número de $a_i$ 's con $i\in \mathbb{N}$ tales que $a_i$ tiene menos de $m$ factores primos distintos es finito.

Sea $(a_i)_{i\in \mathbb{N}}$ una secuencia con $a_1=\frac{3}2$ tal que $$a_{n+1}=1+\frac{n}{a_n}$$ Encuentre $n$ tal que $2020\le a_n <2021$

Sean $a_1,a_2,\ldots,a_n$ una secuencia finita de enteros no negativos, sus subsecuencias son las secuencias de la forma $a_i,a_{i+1},\ldots,a_j$ con $1\le i\le j \le n$. Se dice que dos subsecuencias son iguales si tienen la misma longitud y tienen los mismos términos, es decir, dos subsecuencias $a_i,a_{i+1},\ldots,a_j$ y $a_u,a_{u+1},\ldots a_v$ son iguales si y solo si $j-i=u-v$ y $a_{i+k}=a_{u+k}$ para todo entero $k$ tal que $0\le k\le j-1$. Finalmente, decimos que una subsecuencia $a_i,a_{i+1},\ldots,a_j$ es palindrómica si $a_{i+k}=a_{j-k}$ para todo entero $k$ tal que $0\le k \le j-i$ ¿Cuál es el mayor número de subsecuencias palindrómicas diferentes que puede contener una secuencia palindrómica de longitud $n$?

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AC>AB$, Sea $DEF$ el triángulo de contacto con $D \in (BC)$, $E \in (AC)$, $F \in (AB)$, sea $G$ la intersección de la perpendicular de $D$ a $EF$ con $AB$, y $X=(ABC)\cap (AEF)$. Demuestre que $B,D,G$ y $X$ son concíclicos.

Sea $ABC$ un triángulo tal que $AB <AC$ , $\omega$ su círculo inscrito y $\Gamma$ su círculo circunscrito. Sea también $\omega_b$ el excírculo relativo al vértice $B$ , entonces $B'$ es el punto de tangencia entre $\omega_b$ y $(AC)$ . Similarmente, sea el círculo $\omega_c$ el excírculo exinscrito relativo al vértice $C$ , entonces $C'$ es el punto de tangencia entre $\omega_c$ y $(AB)$ . Finalmente, sea $I$ el centro de $\omega$ y $X$ el punto de $\Gamma$ tal que $\angle XAI$ es un ángulo recto. Demuestre que los triángulos $XBC'$ y $XCB'$ son congruentes.

Para un entero positivo $n$, la ecuación $a^2 + b^2 + c^2 + n = abc$ se da en los enteros positivos. Demostrar que:\n1. No existe una solución $(a, b, c)$ para $n = 2017$.\n2. Para $n = 2016$, $a$ es divisible por $3$ para todas las soluciones $(a, b, c)$.\n3. Hay infinitas soluciones $(a, b, c)$ para $n = 2016$.

Un entero positivo $n$ es Mozart si la representación decimal de la secuencia $1, 2, \ldots, n$ contiene cada dígito un número par de veces. Demostrar que:\n1. Todos los números Mozart son pares.\n2. Hay infinitos números Mozart.